已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求1y1+1y2的取值范围;(Ⅱ)是否存在定
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已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求1y1+1y2的取值范围;(Ⅱ)是否存在定
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C:x
2
=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),求
1
y
1
+
1
y
2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.
答案
(Ⅰ)设直线l方程为y=kx+1代入x
2
=4y得x
2
-4kx-4=0
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=4k,x
1
x
2
=-4
1
y
1
+
1
y
2
≥2
1
y
1
•
1
y
2
=2
1
x
21
4
•
1
x
22
4
=2
16
(-4)
2
=2
所以
1
y
1
+
1
y
2
的取值范围是[2,+∞).(7分)
(Ⅱ)当l平行于x轴时,要使∠AQF=∠BQF,则Q必在y轴上.
设点Q(0,b),由题意得
k
AQ
+
k
BQ
=0,设A(
x
1
,
y
1
),B(
x
2
,
y
2
),
,
∵
x
1
2
=4
y
1
,
x
2
2
=4
y
2
,∴
b=-1
∴Q(0,-1)
∵以上每步可逆,
∴存在定点Q(0,-1),使得∠AQF=∠BQF(15分)
举一反三
已知抛物线C:y=x
2
+4x+
7
2
,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.
(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-
1
2
,求点M的坐标(x
0
,y
0
);
(2)设P(-2,4)为C对称轴上的一点,在C上一定存在点,使得C在该点的法线通过点P.试求出这些点,以及C在这些点的法线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
y
2
5
+
x
2
4
=1的上、下焦点分别为N、M,若动点P满足
MP
•
MN
=
|
PN
|
•|
MN
|
,
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点N作直线l与点P的轨迹C交于点A、B,分别以A、B为切点作曲线C的切线,其交点为Q,求
NQ
•
AB
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:
x=2
t
2
y=2t
,(t为参数)设O为坐标原点,点M(x
0
,y
0
)在C上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹普通方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点(4,2)是直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1所截的线段的中点,则直线l的方程是( )
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y+4=0
D.x+2y-8=0
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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