已知抛物线C:y=x2+4x+72,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-12,求点M的坐标(
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已知抛物线C:y=x2+4x+72,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-12,求点M的坐标(
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线C:y=x
2
+4x+
7
2
,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.
(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-
1
2
,求点M的坐标(x
0
,y
0
);
(2)设P(-2,4)为C对称轴上的一点,在C上一定存在点,使得C在该点的法线通过点P.试求出这些点,以及C在这些点的法线方程.
答案
(1)函数
y=
x
2
+4x+
7
2
的导数y′=2x+4,点(x
0
,y
0
)处切线的斜率k
0
=2x
0
+4、
∵过点(x
0
,y
0
)的法线斜率为
-
1
2
,∴
-
1
2
(2x
0
+4)=-1,解得x
0
=-1,
y
0
=
1
2
.故点M的坐标为(-1,
1
2
).
2设M(x
0
,y
0
)3为C上一点,
(2)若x
0
=-2,则C上点M
(-2,-
1
2
)
处的切线斜率k=0,
过点M
(-2,-
1
2
)
的法线方程为x=-2,法线过点P(-2,4);
若x
0
≠-2,则过点M(x
0
,y
0
)的法线方程为:
y-
y
0
=-
1
2
x
0
+4
(x-
x
0
)
.
若法线过点P(-2,4),则
4-
y
0
=-
1
2
x
0
+4
(-2-
x
0
)
,
解得x
0
=0,
y
0
=
7
2
,得x+4y-14=0,或者x
0
=-4,
y
0
=
7
2
,得x-4y+18=0.
综上,在C上有点(0,
7
2
),(-4,
7
2
)及
(-2,-
1
2
)
,
在该点的法线通过点P,法线方程分别为x+4y-14=0,x-4y+18=0,x=-2
举一反三
已知椭圆
y
2
5
+
x
2
4
=1的上、下焦点分别为N、M,若动点P满足
MP
•
MN
=
|
PN
|
•|
MN
|
,
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点N作直线l与点P的轨迹C交于点A、B,分别以A、B为切点作曲线C的切线,其交点为Q,求
NQ
•
AB
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:
x=2
t
2
y=2t
,(t为参数)设O为坐标原点,点M(x
0
,y
0
)在C上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹普通方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点(4,2)是直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1所截的线段的中点,则直线l的方程是( )
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y+4=0
D.x+2y-8=0
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知直线l:y=2x-1与抛物线C:y
2
=2px(p>0)交于A、B两点,若抛物线上存在点M,使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F,则p=______.
题型:浙江模拟
难度:
|
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