过抛物线y2=2x的对称轴上的定点M(m,0),(m>0),作直线AB交抛物线于A,B两点.(1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值;(2)若△OAB的面积的最
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过抛物线y2=2x的对称轴上的定点M(m,0),(m>0),作直线AB交抛物线于A,B两点. (1)试证明A,B两点的纵坐标之积为定值; (2)若△OAB的面积的最小值为4,求m的值. |
答案
(1)设lAB:x=ty+m代入y2=2x得y2-2ty-2m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2) △=4t2+8m>0,y1+y2=2t,y1y2=-2m ∵m为常数∴y1•y2=-2m为定值 (2)S△OAB=S△OAM+S△OBM=m|y1|+m|y2|=|y1-y2|==≥=4 ∴=4⇒m=2 |
举一反三
(1)求过点(-2,3)的抛物线的标准方程; (2)已知双曲线的离心率等于2,且与椭圆+=1有相同的焦点,求此双曲线方程. |
已知椭圆+=1(a>b>0)的焦距是2,离心率是0.5; (1)求椭圆的方程; (2)求证:过点A(1,2)倾斜角为45°的直线l与椭圆有两个不同的交点. |
已知椭圆+y2=1. (1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (2)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程; (3)过点P(,)且被P点平分的弦所在的直线方程. |
方程+=1所表示的曲线为C,有下列命题: ①若曲线C为椭圆,则2<t<4;②若曲线C为双曲线,则t>4或t<2; ③曲线C不可能为圆;④若曲线C表示焦点在y上的双曲线,则t>4; 以上命题正确的是______(填上所有正确命题的序号). |
在△PAB中,已知A(-,0)、B(,0),动点P满足|PA|=|PB|+4. (I)求动点P的轨迹方程; (II)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l垂直于AB,且l与直线MP交于点Q,,试在x轴上确定一点T,使得PN⊥QT; (III)在(II)的条件下,设点Q关于x轴的对称点为R,求•的值. |
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