已知双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程,并求其渐近线方程.
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已知双曲线与椭圆x227+y236=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程,并求其渐近线方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线与椭圆
x
2
27
+
y
2
36
=1
有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程,并求其渐近线方程.
答案
因为椭圆
x
2
27
+
y
2
36
=1
的焦点为F
1
(0,-3),F
2
(0,3),
故可设双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0),且c=3,
a
2
+
b
2
=9
.
由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,将y=4代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为
(
15
,4),(-
15
,4),因为点(
15
,4)[或(-
15
,4)]
在双曲线上,所以有
16
a
2
-
15
b
2
=1
.
解方程组
a
2
+
b
2
=9
16
a
2
-
15
b
2
=1.
得
a
2
=4
b
2
=5.
故所求双曲线的方程为
y
2
4
-
x
2
5
=1.
又
a
2
=4,
b
2
=5,则a=2,b=
5
,
所以双曲线的渐近线方程为y=±
a
b
x=±
2
5
5
x.
举一反三
设斜率为1的直线l与椭圆C:
x
2
4
+
y
2
2
=1相交于不同的两点A、B,则使|AB|为整数的直线l共有( )
A.4条
B.5条
C.6条
D.7条
题型:西城区二模
难度:
|
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过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:
x
2
2
+
y
2
=1
交于A、C与B、D,则四边形ABCD面积最小值为( )
A.
8
3
B.4
2
C.2
2
D.
4
3
题型:武汉模拟
难度:
|
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抛物线y
2
=2x上的点P到直线y=2x+4有最短的距离,则P的坐标是( )
A.(
1
8
,
1
2
)
B.(0,0)
C.(2,2)
D.
(
1
2
,
1
2
)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆与双曲线
x
2
3
-
y
2
=1
有共同的焦点,且过点P(2,3),求双曲线的渐近线及椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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过椭圆
x
2
5
+
y
2
4
=1
的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为______.
题型:海南
难度:
|
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