设抛物线y2=2px(p>0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为35.(1)求此抛物线的方程;(2)设直线AB上有一点Q,使得A,Q,B三点到抛物线准线的距离成
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设抛物线y2=2px(p>0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为35.(1)求此抛物线的方程;(2)设直线AB上有一点Q,使得A,Q,B三点到抛物线准线的距离成
题型:不详
难度:
来源:
设抛物线
y
2
=2px(p>0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为3
5
.
(1)求此抛物线的方程;
(2)设直线AB上有一点Q,使得A,Q,B三点到抛物线准线的距离成等差数列,求Q点坐标;
(3)在抛物线上求一点M,使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小.
答案
(1)联立方程组,得
y
2
=2px
y=2x-4
,整理得:2x
2
-(8+p)x+8=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=
8+p
2
,
x
1
x
2
=4
,
∴弦长AB=
(1+4)[
(
8+p
2
)
2
-4×4]
=
3
5
,
解得p=2或-18(舍),
所以此抛物线的方程:y
2
=4x.
(2)设Q(x,y),
∵A,Q,B三点到抛物线准线的距离成等差数列,
∴x=
x
1
+
y
1
2
=
8+2
2
2
=
5
2
,
∴
y=2×
5
2
-4=1
,
∴
Q(
5
2
,1)
.
(3)∵M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离,
∴M点的纵坐标是y=1,
把y=1代入y
2
=4x,得x=
1
4
,
∴
M(
1
4
,1)
.
举一反三
求以椭圆
x
2
64
+
y
2
16
=1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为
5π
6
的双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线x
2
=2py(p>0)上一点P(x,1)到焦点F的距离为2,
(1)求抛物线的方程;
(2)过点F的动直线l交抛物线于A、B两点,求弦AB中点Q的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
和双曲线
x
2
4
-
y
2
5
=1
的共同焦点为F
1
,F
2
,P是两曲线的一个交点,则|PF
1
|•|PF
2
|的值为( )
A.
21
2
B.84
C.3
D.21
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
34
+
y
2
n
2
=1
和双曲线
x
2
n
2
-
y
2
16
=1
有相同的焦点,则实数n的值是( )
A.±5
B.±3
C.5
D.9
题型:不详
难度:
|
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在椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1内以点P(-2,1)为中点的弦所在的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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