过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线x2b2+y2a2=1上，则双曲线的离心率为______．

题型：大连一模难度：来源：

过双曲线

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线

=1上，则双曲线的离心率为______．

答案

依题意知双曲线一渐近线为y=

x，则过焦点的垂线方程为y=-

（x-c）
联立解得x=

，y=

，
代入椭圆方程得

a2b2

=1
整理求得e=

，
故答案为

举一反三

已知双曲线C：

-y2=1和定点P(2，

)．
（1）求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程；
（2）双曲线C上是否存在A，B两点，使得

(

)成立？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

倾斜角为60°的直线与抛物线x²=2py（p＞0）交于A、B，且A、B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为______．

题型：不详难度：| 查看答案

直线y=2x-

与曲线

x=sinϕ

y=cos2ϕ

（φ为参数）的交点坐标是______．

题型：上海难度：| 查看答案

已知F₁、F₂分别是椭圆

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，

F1F2

NF1

，|

F1F2

|=2．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且满足

=λ

，当λ∈[

，

]时，求直线AB的斜率的取值范围．

题型：东城区模拟难度：| 查看答案

在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=

x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p₀，

p₀²）（p₀≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，

），E′（p₂，

p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|⇔φ（a，b）=

|p1|

．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

（x+1）²-

}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φ_min）和最大值（记为φ_max）

题型：广东难度：| 查看答案