已经抛物线y2=2px(p>o)与直线l交于A,B两点,且OA•OB=0,过原点O作直线AB的垂线OM,垂足为M(3,3).(1)求抛物线的方程;(2)设点Q(
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已经抛物线y2=2px(p>o)与直线l交于A,B两点,且OA•OB=0,过原点O作直线AB的垂线OM,垂足为M(3,3).(1)求抛物线的方程;(2)设点Q(
题型:不详
难度:
来源:
已经抛物线y
2
=2px(p>o)与直线l交于A,B两点,且
OA
•
OB
=0
,过原点O作直线AB的垂线OM,垂足为
M(3,
3
)
.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点Q(a,0)是坐标轴上一点,P为抛物线上任一点,当|QP|最小值等于
2
3
时,求P点的坐标及相应a的值.
答案
由题意可得直线OM的斜率K=
3
3
,且OM⊥AB
∴
K
AB
=-
3
,直线AB的方程为
y-
3
=-
3
(x-3)
联立方程
y=-
3
x+4
3
y
2
=2px
整理可得3x
2
-(24+2p)x+48=0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)则x
1
x
2
=16,
x
1
+
x
2
=
24+2p
3
∴
y
1
y
2
=(4
3
-
3
x
1
)(4
3
-
3
x
2
)
=48-12(x
1
+x
2
)+3x
1
x
2
=-8p
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=16-8p=0
∴p=2
∴抛物线的方程为y
2
=4x
(2)设P(x,y)则PQ=
(
x-a)
2
+
y
2
=
x
2
-(2a-4)x+
a
2
=
[x
-(a-2)]
2
+4a-4
根据二次函数的性质可得当x=a-2时
PQ
min
=
4a-4
=2
3
∴a=4,此时P(2,
,2
2
)
举一反三
设双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
=1 (a>0) 与直线 l:x+y=1
相交于两个不同的点A、B.
(1)求a的取值范围:(2)设直线l与y轴的交点为P,且
PA
=
5
12
PB
.求a的值.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线y=x
2
过一定点A (-a,a
2
)(
a>
2
),P(x,y)是抛物线上的动点.
(I)将
AP
2
表示为关于x的函数f(x),并求当x为何值时,f(x)有极小值;
(II)设(I)中使f(x)取极小值的正数x为x
0
,求证:抛物线在点P
0
(x
0
,y
0
)处的切线与直线AP
0
垂直.
题型:不详
难度:
|
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已知A,B是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
和双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的公共顶点.过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M,N两点,直线MA,MB,NA,NB的斜率分别记为k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,则下列关系正确的是( )
A.k
1
+k
2
=k
3
+k
4
B.k
1
+k
3
=k
2
+k
4
C.k
1
+k
2
=-(k
3
+k
4
)
D.k
1
+k
3
=-(k
2
+k
4
)
题型:不详
难度:
|
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直线y=x-1与椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1相交于A,B两点,则
题型:AB|=______.
难度:
|
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由抛物线y
2
=x和直线x=1所围成图形的面积为______.
题型:不详
难度:
|
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