设抛物线y=x2过一定点A (-a,a2)(a>2),P(x,y)是抛物线上的动点.(I)将AP2表示为关于x的函数f(x),并求当x为何值时,f(x)有极小值

设抛物线y=x2过一定点A (-a,a2)(a>2),P(x,y)是抛物线上的动点.(I)将AP2表示为关于x的函数f(x),并求当x为何值时,f(x)有极小值

题型:不详难度:来源:
设抛物线y=x2过一定点A (-a,a2)(a>


2
),P(x,y)是抛物线上的动点.
(I)将


AP
2
表示为关于x的函数f(x),并求当x为何值时,f(x)有极小值;
(II)设(I)中使f(x)取极小值的正数x为x0,求证:抛物线在点P0(x0,y0)处的切线与直线AP0垂直.
答案
(I)


AP
=(x+a,y-a2)=(x+a,x2-a2),则
f(x)=


AP
2
=(x+a)2+(x2-a2)2=x4+(1-2a2)x2+2ax+a4+a2

∴f"(x)=4x3+2(1-2a2)x+2a.令f"(x)=0得2x3+(1-2a2)x+a=0,即(x+a)(2x2-2ax+1)=0.
∵a>


2

∴此方程有三个根x1=-a,x2=
a-


a2-2
2
x3=
a+


a2-2
2

①当x<-a时,f"(x)<0;
②当-a<x<
a-


a2-2
2
时,f"(x)>0;
③当
a-


a2-2
2
<x<
a+


a2-2
2
时,f"(x)<0;
④当x>
a+


a2-2
2
时,f"(x)>0.
∴当x=-a或x=
a+


a2-2
2
时,f(x)有极小值
(II)由(I)知,x0=
a+


a2-2
2

则直线AP0的斜率k1=
x20
-a2
x0+a
=x0-a=
a+


a2-2
2
-a=


a2-2
-a
2

又抛物线y=x2在点P0(x0,y0)处的切线的斜率k2=2x0=a+


a2-2
,∴k1k2=


a2-2
-a
2
×(a+


a2-2
)=
a2-2-a2
2
=-1,
∴抛物线在点P0(x0,y0)处的切线与直线AP0垂直.
举一反三
已知A,B是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
和双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的公共顶点.过坐标原点O作一条射线与椭圆、双曲线分别交于M,N两点,直线MA,MB,NA,NB的斜率分别记为k1,k2,k3,k4,则下列关系正确的是(  )
A.k1+k2=k3+k4B.k1+k3=k2+k4
C.k1+k2=-(k3+k4D.k1+k3=-(k2+k4
题型:不详难度:| 查看答案
直线y=x-1与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相交于A,B两点,则
题型:AB|=______.难度:| 查看答案
由抛物线y2=x和直线x=1所围成图形的面积为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的方程为y2=4x,直线L过定点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时直线与抛物线
(1)只有一个公共点;
(2)有两个公共点;
(3)没有公共点.
题型:不详难度:| 查看答案
已知直线x-y-1=0与抛物线x2=2py相切,则常数p=______.
题型:邯郸二模难度:| 查看答案
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