直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.则直线l过定点______.
题型:不详难度:来源:
直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.则直线l过定点______. |
答案
设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.(2分) 联立方程得:消去y得k2x2+(2kb-2)x+b2=0 由题意:x1x2=y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=(5分) 又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,(7分) 即 +=0,解得b=0(舍去)或b=-2k(9分) 故直线l的方程为:y=kx-2k=k(x-2),故直线过定点(2,0)(11分) (II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0 联立方程得:解得 y=±,即y1y2=-2m 又由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即m2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2 可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0) 综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0). 故答案为:(2,0). |
举一反三
已知P为抛物线y=x2上的动点,定点A(a,0)关于P点的对称点是Q, (1)求点Q的轨迹方程; (2)若(1)中的轨迹与抛物线y=x2交于B、C两点,当AB⊥AC时,求a的值. |
若双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,且渐近线方程为x±2y=0的双曲线的标准方程是( ) |
抛物线x2=ay(a大于0)的准线l与y轴交与点P,若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒后,恰好与抛物线第一次相切,则t等于( ) |
根据抛物线的光学原理:一水平光线射到抛物线上一点,经抛物线反射后,反射光线必过焦点.然后求解此题:抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,一水平光线射到A点后,反射光线会平行y轴,一水平光线射到B点后,反射光线所在直线的斜率为 -. (Ⅰ)求直线AB的方程. (Ⅱ)在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积. |
若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=8的一个焦点,则p=______. |
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