已知P为抛物线y=x2上的动点，定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，（1）求点Q的轨迹方程；（2）若（1）中的轨迹与抛物线y=x2交于B、C两点，当AB⊥AC
题型：不详难度：来源：
已知P为抛物线y=x2上的动点，定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹与抛物线y=x2交于B、C两点，当AB⊥AC时，求a的值． |
答案
（1）设Q（x，y）、P（x0，y0）
，
∴，
∴=()2，即y=(x+a)2
（2）由消去y得x2-2ax-a2=0
又因为两曲线相交于B、C两点，
∴△=4a2-4（-a2）=8a2＞0，∴a≠0
设B（x1，y1）、C（x2，y2）
| | 则x1+x2=2a，x1x2=-a2 | | ∵ AB⊥AC∴kAB•kAC=-1，即•=-1 | | ∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0 | | ∵y1y2=•=(-a2)2=0∴a4-a2-2a2+a2=0 | | 解得a=±或a=0(舍去) | | ∴当AB⊥AC时，a的值为±． |
| |
|
举一反三
| 若双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同，且渐近线方程为x±2y=0的双曲线的标准方程是（ ） |
| 抛物线x2=ay（a大于0）的准线l与y轴交与点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒后，恰好与抛物线第一次相切，则t等于（ ） |
根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 -．
（Ⅰ）求直线AB的方程．
（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积． |
| 若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点也是双曲线x2-y2=8的一个焦点，则p=______． |
极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-1=0的直线L与x轴的交点为P，与曲线C（θ为参数）交于A，B．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|． |
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