已知椭圆 x24+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变
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已知椭圆 x24+y2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;(2)当直线AM的斜率变
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.
(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.
答案
(1)直线AM的斜率为1时,直线AM:y=x+2,(1分)
代入椭圆方程并化简得:5x
2
+16x+12=0,(2分)
解之得
x
1
=-2,
x
2
=-
6
5
,∴
M(-
6
5
,
4
5
)
.(4分)
(2)设直线AM的斜率为k,则AM:y=k(x+2),
则
y=k(x+2)
x
2
4
+
y
2
=1
化简得:(1+4k
2
)x
2
+16k
2
x+16k
2
-4=0.(6分)
∵此方程有一根为-2,∴
x
M
=
2-8
k
2
1+4
k
2
,(7分)
同理可得
x
N
=
2
k
2
-8
k
2
+4
.(8分)
由(1)知若存在定点,则此点必为
P(-
6
5
,0)
.(9分)
∵
k
MP
=
y
M
x
M
+
6
5
=
k(
2-8
k
2
1+4
k
2
+2)
2-8
k
2
1+4
k
2
+
6
5
=
5k
4-4
k
2
,(11分)
同理可计算得
k
PN
=
5k
4-4
k
2
.(13分)
∴直线MN过x轴上的一定点
P(-
6
5
,0)
.(16分)
举一反三
已知抛物线M:y
2
=4x,圆N:(x-1)
2
+y
2
=r
2
(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点,交抛物线M于A、B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是( )
A.r∈(0,1]
B.r∈(1,2]
C.
r∈(
3
2
,4)
D.
r∈[
3
2
,+∞)
题型:辽宁一模
难度:
|
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直线l与抛物线y
2
=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.则直线l过定点______.
题型:不详
难度:
|
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已知P为抛物线y=x
2
上的动点,定点A(a,0)关于P点的对称点是Q,
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹与抛物线y=x
2
交于B、C两点,当AB⊥AC时,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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若双曲线的一个焦点与抛物线y
2
=4x的焦点相同,且渐近线方程为
5
x±2y=0
的双曲线的标准方程是( )
A.
9
y
2
4
-
9
x
2
5
=1
B.
9
x
2
4
-
9
y
2
5
=1
C.
x
2
5
-
y
2
4
=1
D.
3
x
2
2
-3
y
2
=1
题型:不详
难度:
|
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抛物线x
2
=ay(a大于0)的准线l与y轴交与点P,若l绕点P以每秒
π
12
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒后,恰好与抛物线第一次相切,则t等于( )
A.1
B.2
C.3
D.与a的值有关
题型:不详
难度:
|
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