已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点,交抛物线M于A、B两点,且满足|AC

已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点,交抛物线M于A、B两点,且满足|AC

题型:辽宁一模难度:来源:
已知抛物线M:y2=4x,圆N:(x-1)2+y2=r2(其中r为常数,r>0).过点(1,0)的直线l交圆N于C、D两点,交抛物线M于A、B两点,且满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的必要条件是(  )
A.r∈(0,1]B.r∈(1,2]C.r∈(
3
2
,4)
D.r∈[
3
2
,+∞)
答案
x=1与抛物线交于(1,土2),与圆交于(1,土r),满足题设.
设直线l:x=my+1,(1)
代入y2=4x,得y2-4my-4=0,
△=16(m2+1),
把(1)代入(x-1)2+y2=r2得y2=
r2
1+m2

设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
|AC|=|BD|
即y1-y3=y2-y4
即y1-y2=y3-y4
即4


m2+1
=
2r


m2+1

即r=2(m2+1)>2,
即r>2时,l仅有三条.
考查四个选项,只有D中的区间包含了(2,+∞)
r∈[
3
2
,+∞)
是直线l只有三条的必要条件
故选D.
举一反三
直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点,O为抛物线的顶点,若OA⊥OB.则直线l过定点______.
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已知P为抛物线y=x2上的动点,定点A(a,0)关于P点的对称点是Q,
(1)求点Q的轨迹方程;
(2)若(1)中的轨迹与抛物线y=x2交于B、C两点,当AB⊥AC时,求a的值.
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若双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,且渐近线方程为


5
x±2y=0
的双曲线的标准方程是(  )
A.
9y2
4
-
9x2
5
=1
B.
9x2
4
-
9y2
5
=1
C.
x2
5
-
y2
4
=1
D.
3x2
2
-3y2=1
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抛物线x2=ay(a大于0)的准线l与y轴交与点P,若l绕点P以每秒
π
12
弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒后,恰好与抛物线第一次相切,则t等于(  )
A.1B.2
C.3D.与a的值有关
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根据抛物线的光学原理:一水平光线射到抛物线上一点,经抛物线反射后,反射光线必过焦点.然后求解此题:抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,一水平光线射到A点后,反射光线会平行y轴,一水平光线射到B点后,反射光线所在直线的斜率为 -
4
3

(Ⅰ)求直线AB的方程.
(Ⅱ)在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积.
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