已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=22MH,记动点N的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若AB是曲线E的长为

已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=22MH,记动点N的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若AB是曲线E的长为

题型:不详难度:来源:
已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=


2
2
MH,记动点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.
答案
(Ⅰ)(Ⅰ)设N(x,y),M(x′,y′),则由已知得,x′=x,y=


2
y

代入x2+y2=2得,x2+2y2=2.
所以曲线E的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,则弦AB不能与x轴垂直,故
可设直线AB的方程为y=kx+m





y=kx+m
x2
2
+y2=1
,消去y,并整理,得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0
所以,x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2(m2-1)
1+2k2

因为|AB|=2,
所以


(1+k2)(x2-x1)2
=2
,即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-
4km
1+2k2
)2-
8(m2-1)
1+2k2
]=4
,即
1
1+k2
=2(1-m2)

因为1+k2≥1,所以
1
2
m2<1
.                 
又点O到直线AB的距离h=
|m|


1+k2

因为S=
1
2
|AB|•h=h

所以S2=h2=2m2(1-m2)=-2(m2-
1
2
)2+
1
2

所以0<S2
1
2
,即S的最大值为


2
2
举一反三
已知抛物线D的顶点是椭圆Q:
x2
4
+
y2
3
=1
的中心O,焦点与椭圆Q的右焦点重合,点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线D上的两个动点,且|


OA
+


OB
|=|


OA
-


OB
|
(Ⅰ)求抛物线D的方程及y1y2的值;
(Ⅱ)求线段AB中点轨迹E的方程;
(Ⅲ)求直线y=
1
2
x
与曲线E的最近距离.
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已知椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
,过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,交y轴于P点.设


PA
=λ1


AF


PB
=λ2


BF
,则λ12等于(  )
A.-
9
25
B.-
50
9
C.
50
9
D.
9
25
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直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,另一条直线l过点(-2,0)和AB的中点,则直线l在y轴上的截距b的取值范围为______.
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过椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,已知双曲线的焦点在x轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点,则双曲线的离心率是(  )
A.


2
2
B.


6
2
C.
1
2
D.


3
2
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已知椭圆 
x2
4
+y2=1
的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点.
(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标;
(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.
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