过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A、B,且弦|AB|的长度为410.(1)求p的值;(2)求证:OA⊥OB(O为原点).
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过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A、B,且弦|AB|的长度为410.(1)求p的值;(2)求证:OA⊥OB(O为原点).
题型:不详
难度:
来源:
过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线y
2
=2px(p>0)交于两点A、B,且弦|AB|的长度为4
10
.
(1)求p的值;
(2)求证:OA⊥OB(O为原点).
答案
(1)直线方程为y=-x+4,联立方程
y=-x+4
y
2
=2px
消去y得,x
2
-2(p+4)x+16=0.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),得x
1
+x
2
=2(p+4),x
1
x
2
=16,△=4(p+2)
2
-64>0.
所以|AB|=
1+1
|x
1
-x
2
|=
2
•
4(P+4
)
2
-4×16
=4
10
,所以p=2.
(2)证明:由(1)知,x
1
+x
2
=2(p+4)=12,x
1
x
2
=16,
∴y
1
y
2
=(-x
1
+4)(-x
2
+4)=-8p=-16
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,∴OA⊥OB.
举一反三
椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
中过P(1,1)的弦恰好被P点平分,则此弦所在直线的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l过点P(2,1)与双曲线x
2
-
y
2
4
=1相交于A、B两点,若P为AB的中点,则直线l的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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若抛物线y=ax
2
-1恒有关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知点M是圆C:x
2
+y
2
=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=
2
2
MH,记动点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线D的顶点是椭圆Q:
x
2
4
+
y
2
3
=1
的中心O,焦点与椭圆Q的右焦点重合,点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(x
1
x
2
≠0)是抛物线D上的两个动点,且
|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|
(Ⅰ)求抛物线D的方程及y
1
y
2
的值;
(Ⅱ)求线段AB中点轨迹E的方程;
(Ⅲ)求直线
y=
1
2
x
与曲线E的最近距离.
题型:不详
难度:
|
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