已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为6,且经过点(1,12).若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P,Q,求证:OP⊥OQ.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为6,且经过点(1,12).若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P,Q,求证:OP⊥OQ.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为
6
,且经过点
(1,
1
2
)
.若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P,Q,求证:OP⊥OQ.
答案
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为
6
,
∴设椭圆方程为
x
2
3
2
+
y
2
b
2
=1,
∵椭圆经过点
(1,
1
2
)
,
∴
2
3
+
1
4
b
2
=1
,解得b
2
=
3
4
,
∴椭圆方程为
2
x
2
3
+
4
y
2
3
=1
.
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
由
x+y-1=0
2
x
2
+4
y
2
=3
,得6x
2
-8x+1=0,
∴x
1
+x
2
=
4
3
,
x
1
x
2
=
1
6
,
∴y
1
y
2
=(1-x
1
)(1-x
2
)=1-(x
1
+x
2
)+x
1
x
2
=1-
4
3
+
1
6
=-
1
6
.
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
∴OP⊥OQ.
举一反三
直线y=kx-2与椭圆x
2
+4y
2
=80相交于不同的两点P、Q,若PQ的中点横坐标为2,则直线的斜率等于______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=-x
2
+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|=______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E的右焦点F
2
与抛物线
y
2
=4
3
x
的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点
A(1,
3
2
)
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点
D(0,
5
3
)
且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点,线段MN的中点为Q,点B(-1,0),当l⊥QB时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=k(x-3)与双曲线
x
2
m
-
y
2
27
=1
恒有公共点,则双曲线离心率的取值范围( )
A.[9,+∞)
B.(1,9]
C.(1,2]
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点.
(1)当椭圆的半焦距c=1,且a
2
,b
2
,c
2
成等差数列时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,求弦AB的长度;
(3)当椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求椭圆长轴长的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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