已知椭圆E的右焦点F2与抛物线y2=43x的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点A(1,32).(1)求椭圆E的方程;(2)过点D(0,53)且斜率存在的直线l交
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已知椭圆E的右焦点F2与抛物线y2=43x的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点A(1,32).(1)求椭圆E的方程;(2)过点D(0,53)且斜率存在的直线l交
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E的右焦点F
2
与抛物线
y
2
=4
3
x
的焦点重合,对称轴为坐标轴,且经过点
A(1,
3
2
)
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点
D(0,
5
3
)
且斜率存在的直线l交椭圆E于M、N两点,线段MN的中点为Q,点B(-1,0),当l⊥QB时,求直线l的方程.
答案
(1)设椭圆E的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
∵抛物线
y
2
=4
3
x
的焦点为
(
3
,0)
,∴F
2
(
3
,0)
,∴a
2
-b
2
=3①--------(3分)
又过点
A(1,
3
2
)
,∴
1
a
2
+
3
4
b
2
=1
②
由①,②得:a
2
=4,b
2
=1
∴椭圆E的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
-----(5分)
(2)设直线l的方程为:
y=kx+
5
3
(k≠0)
由
y=kx+
5
3
x
2
+4
y
2
=4
得(9+36k
2
)x
2
+120kx+64=0
由△=14400k
2
-256(9+36k
2
)>0得:
k
2
>
4
9
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),Q(x
0
,y
0
)则
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
-60k
9+36
k
2
y
0
=k
x
0
+
5
3
=
15
9+36
k
2
----(9分)
∵l⊥QB,∴
k
QB
=
15
9+36
k
2
-60k
9+36
k
2
+1
=-
1
k
,化简得:4k
2
-5k+1=0
解得:k=1或
k=
1
4
(舍去)
∴直线l的方程为
y=x+
5
3
-----(12分)
举一反三
已知直线y=k(x-3)与双曲线
x
2
m
-
y
2
27
=1
恒有公共点,则双曲线离心率的取值范围( )
A.[9,+∞)
B.(1,9]
C.(1,2]
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A,B两点.
(1)当椭圆的半焦距c=1,且a
2
,b
2
,c
2
成等差数列时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,求弦AB的长度;
(3)当椭圆的离心率e满足
3
3
≤e≤
2
2
,且以AB为直径的圆经过坐标原点O,求椭圆长轴长的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
y
2
75
+
x
2
25
=1
的一条弦的斜率为3,它与直线
x=
1
2
的交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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若点P(x,y)是曲线
x
2
4
+
y
2
3
=1
上任意一点,则
2x+
3
y
的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
分别是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
的左,右焦点,A为椭圆的上顶点.曲线C是以坐标原点为顶点,以F
2
为焦点的抛物线,过点F
1
的直线l交曲线C于x轴上方两个不同的点P,Q,设
F
1
P
=λ
F
1
Q
.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求△F
1
AF
2
的内切圆的方程;
(Ⅲ)若λ=
1
4
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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