动圆D过定点A(0,2),圆心D在抛物线x2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦.(1)当圆心D在原点时,过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点,求△A
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动圆D过定点A(0,2),圆心D在抛物线x2=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦.(1)当圆心D在原点时,过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点,求△A
题型:不详
难度:
来源:
动圆D过定点A(0,2),圆心D在抛物线x
2
=4y上运动,MN为圆D在x轴上截得的弦.
(1)当圆心D在原点时,过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点,求△ABC的最大面积;
(2)当圆心D运动时,记|AM|=m,|AN|=n,求
m
n
+
n
m
的最大值.
答案
(1)设直线BC为y=kx+1,代入x
2
+y
2
=4得,(1+k
2
)x
2
+2kx-3=0,
S=
1
2
|FA||
x
1
-
x
2
|
=
|
x
1
-
x
2
|
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
2
=
4
k
2
+3
(1+
k
2
)
2
=
4-(
1
1+
k
2
-2
)
2
≤
3
.
当且仅当k=0时,△ABC的最大面积为
3
.
(2)设圆心
(a,
a
2
4
)
,则圆为
(x-a
)
2
+(y-
a
2
4
)
2
=
a
2
+(2-
a
2
4
)
2
.
当y=0时,x=a±2,
∴|MN|=4,
令∠MAN=θ,
由余弦定理,得16=m
2
+n
2
-2mncosθ,
又由
S
△AMN
=
1
2
mnsinθ-
1
2
|MN|
y
A
=
1
2
×4×2=4
,
∴
16
mn
=2sinθ
,
∴
m
n
+
n
m
=2(sinθ +cosθ+
=2
2
sin(θ+
π
4
)
≤2
2
,
当
θ=
π
4
时取得最大值.
举一反三
已知椭圆M的两个焦点分别为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),P是此椭圆上的一点,且
P
F
1
•
P
F
2
=0
,
|P
F
1
|
•
|P
F
2
|
=8
.
(1)求椭圆M的方程;
(2)点A是椭圆M短轴的一个端点,且其纵坐标大于零,B、C是椭圆上不同于点A的两点,若△ABC的重心是椭圆的右焦点,求直线BC的方程.
题型:东城区二模
难度:
|
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已知动圆过定点A(1,0),且与直线x=-1相切.
(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;
(2)若直线l过点A,并与轨迹C交于P,Q两点,且满足
PA
=3
AQ
,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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过点(0,3)作直线l,若l与曲线x
2
-y
2
=4只有一个公共点,这样的直线l共有( )
A.一条
B.二条
C.三条
D.四条
题型:不详
难度:
|
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已知动点P与双曲线x
2
-y
2
=1的两个焦点F
1
,F
2
的距离之和为定值,且cos∠F
1
PF
2
的最小值为-
1
3
题型:不详
难度:
|
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直线l:y=kx+1与双曲线C:2x
2
-y
2
=1的右支交于不同的两点A、B,则实数k的取值范围为( )
A.
-2<k<-
2
B.-2<k<2
C.k
2
<4且k
2
≠2
D.-2<k<0且
k≠-
2
题型:不详
难度:
|
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