已知抛物线的顶点是坐标原点,其准线过双曲线x2a2-y2b2=1,(a>0,b>0)的一个焦点,且两曲线的交点为(32,±6),试求双曲线的方程.
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已知抛物线的顶点是坐标原点,其准线过双曲线x2a2-y2b2=1,(a>0,b>0)的一个焦点,且两曲线的交点为(32,±6),试求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线的顶点是坐标原点,其准线过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1,(a>0,b>0)的一个焦点,且两曲线的交点为(
3
2
,±
6
),试求双曲线的方程.
答案
由题设知,顶点是坐标原点的抛物线的标准方程中,
其抛物线必定是以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,
∴p=2c.
设抛物线方程为y
2
=4c•x,
∵抛物线过点(
3
2
,±
6
),∴6=4c•
3
2
.
∴c=1,故抛物线方程为y
2
=4x.
将点(
3
2
,±
6
)的坐标代入双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1,
∴
9
4
a
2
-
6
b
2
=1.且a
2
+b
2
=c
2
=1,
∴
9
4
a
2
-
6
1-
a
2
=1.
∴a
2
=
1
4
或a
2
=9(负值舍去).
∴b
2
=
3
4
,
故所求双曲线方程为:4x
2
-
4
y
2
3
=1.
举一反三
已知椭圆D:
x
2
4
+y
2
=1与圆M:x
2
+(y-m)
2
=9 (m∈R),双曲线G与椭圆D有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切.
(1)当m=6时,求双曲线G的方程;
(2)若双曲线的两条准线间的距离范围是[1,
3
],求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设点P是抛物线C:x
2
=2py(p>0)在第一象限内的任意一点,过P作抛物线C的切线l交x轴于点M,F为抛物线C的焦点,点Q满足
PM
=
1
2
PF
+
1
2
PQ
,若△PFQ是面积为
3
的等边三角形,则p的值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点P(x,y)是椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
上的动点.
(1)求2x+3y的取值范围;
(2)求椭圆上的点到直线
2x+3y+7
2
=0
的最短距离.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,直线l过F
2
与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)是抛物线y=2x
2
上的两点,直线l是AB的垂直平分线.
(理)当直线l的斜率为
1
2
时,则直线l在y轴上截距的取值范围是______
(文)当且仅当x
1
+x
2
取______值时,直线l过抛物线的焦点F.
题型:不详
难度:
|
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