椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,求直线l的方程.

椭圆x24+y22=1的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,求直线l的方程.

题型:不详难度:来源:
椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,求直线l的方程.
答案
设F2


2
,0),设直线l的方程为y=k(x-


2
),





x2
4
+
y2
2
=1
y=k(x-


2
)
得(1+2k2)x2-4


2
k2x+4(k2-1)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
4


2
1+2k2
,x1•x2=
4(k2-1) 
1+2k2

又y1=k(x1-


2
),y2=k(x2-


2
),∴y1•y2=k2x1•x2-


2
k2(x1+x2)+2k2


OA
=(x1,y1),


OB
=(x2,y2),
直线l过F2与椭圆相交于A、B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,


OA
⊥ 


OB


OA


OB
=0

所以x1•x2+y1•y2=0,
4(k2+1)
1+2k2
+k2×
4(k2+1)
1+2k2
-


2
k2
4


2
1+2k2
)+2k2=0,
解得k=±


2

当k不存在时,


OA


OB
不垂直.
∴所求直线方程为:y=±


2
(x-


2
).
举一反三
设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.
(理)当直线l的斜率为
1
2
时,则直线l在y轴上截距的取值范围是______
(文)当且仅当x1+x2取______值时,直线l过抛物线的焦点F.
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若过点P(-2,0)作直线l与抛物线y2=8x仅有一个公共点,则直线l的方程为______.
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若椭圆
x2
m
+y2=1 (m>1)
与双曲线
x2
n
-y2=
1  
(n>0)
有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是(  )
A.4B.2C.1D.
1
2
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双曲线的中心在坐标原点,离心率e等于2,它的一个顶点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则双曲线的方程为______.
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抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,且AF=2BF,则A点的坐标为______.
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