若椭圆x2m+y2=1 (m>1)与双曲线x2n-y2=1  (n>0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是(  )A.4B.2

若椭圆x2m+y2=1 (m>1)与双曲线x2n-y2=1  (n>0)有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是(  )A.4B.2

题型:不详难度:来源:
若椭圆
x2
m
+y2=1 (m>1)
与双曲线
x2
n
-y2=
1  
(n>0)
有相同的焦点F1、F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是(  )
A.4B.2C.1D.
1
2
答案
由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长2


m
,双曲线的实轴长为2


n

由它们有相同的焦点,得到m-n=2.
不妨设m=5,n=3,
椭圆的长轴长2


5
,双曲线的实轴长为2


3

不妨令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2


3
  ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2


5
  ②
2+②2得|PF1|2+|PF2|2=16
又|F1F2|=4,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2
则△F1PF2的形状是直角三角形
△PF1F2的面积为
1
2
•PF1•PF2=
1
2


5
+


3
)(


5
-


3
)=1
故选C.
举一反三
双曲线的中心在坐标原点,离心率e等于2,它的一个顶点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则双曲线的方程为______.
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抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,且AF=2BF,则A点的坐标为______.
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已知直线l:y=2x-


3
与椭圆C:
x2
a2
+y2=1 (a>1)交于P、Q两点,
(1)设PQ中点M(x0,y0),求证:x0


3
2

(2)以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A.求椭圆C的方程.
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若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1
所表示的曲线为C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1<t<4;       ②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;            ④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<
5
2

其中真命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填上).
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,其右焦点F2与抛物线y2=4


3
x
的焦点重合,且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,求


PF1


PF2
的值.
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