已知直线l：y=2x-3与椭圆C：x2a2+y2=1 （a＞1）交于P、Q两点，（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：x0＜32；（2）以PQ为直径的圆过椭圆

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已知直线l：y=2x-3与椭圆C：x2a2+y2=1 （a＞1）交于P、Q两点，（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：x0＜32；（2）以PQ为直径的圆过椭圆

题型：不详难度：来源：
已知直线l：y=2x-


3
与椭圆C：
x2
a2
+y2=1 （a＞1）交于P、Q两点，
（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：x0＜


3
2
；
（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．
答案
（1）证明：把y=2x-


3
代入
x2
a2
+y2=1 （a＞1），
得：
x2
a2
+（2x-


3
）2=1（a＞1），
整理，得(4a2+1)x2-4


3
a2 x+2a2=0，
∴x0=
xp+xq
2
=
2


3
a2
4a2+1
，
∵4a2+1＞4a2，
∴x0＜


3
2
．
（2）由题设知


PA
•


PB
=0，
∴（xp-a）（xq-a）+ypyq=0，
∵yp=2xp-


3
，yq=2xq-


3
，
∴(xp-a)(xq-a)+(2xp-


3
)(2xq-


3
)=0，
由(4a2+1)x2-4


3
a2 x+2a2=0，
知xp+xq=
4


3
a2
4a2+1
，xpxq=
2a2
4a2+1
，
∴4a4-4


3
a3-a2+3=0，
即(a-


3
) (4a3-a-


3
)  =0，
∵a＞1，
∴4a3-a-


3
＞0，故a=


3
．
∴椭圆C的方程
x2
3
+y2=1．
举一反三
若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1＜t＜4；       ②若C为双曲线，则t＞4或t＜1；
③曲线C不可能是圆；            ④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1＜t＜
5
2
．
其中真命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）．
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右焦点F2与抛物线y2=4


3
x的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F2构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，求


PF1
•


PF2
的值．
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（1）若抛物线的焦点是椭圆
x2
三4
+
下2
1三
=1的左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）若双曲线与椭圆
x2
三4
+
下2
1三
=1有相同的焦点，与双曲线
下2
2
-
x2
三
=1有相同渐近线，求此双曲线的标准方程．
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双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是______．
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一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．
（1）求P点的坐标；
（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
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