一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).(1)求P点的坐标;(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭
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一束光线从点F1(-1,0)出发,经直线l:2x-y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0). (1)求P点的坐标; (2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程; (3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点,试问在x轴上是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A、B的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)设F1关于l的对称点为F(m,n),则=-且2•-+3=0, 解得m=-,n=,即F(-,). 由,解得P(-,). (2)因为PF1=PF,根据椭圆定义,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2 ==2,所以a=.又c=1, 所以b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1. (3)假设存在两定点为A(s,0),B(t,0), 使得对于椭圆上任意一点Q(x,y)(除长轴两端点)都有kQt•kQs=k(k为定值), 即•=k,将y2=1-代入并整理得 (k+)x2-k(s+t)x+kst-1=0(*) .由题意,(*)式对任意x∈(-,)恒成立, 所以, 解之得或. 所以有且只有两定点(,0),(-,0), 使得kQt•kQs为定值-. |
举一反三
椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,一条直线l经过点F1与椭圆交于A,B两点. (1)求△ABF2的周长; (2)若l的倾斜角为,求△ABF2的面积. |
与双曲线-=1有相同的焦点,且过点Q(2,1)的圆锥曲线方程为______. |
双曲线x2-y2=a2(a>0)的左焦点F1,右焦点F2.过F1做倾斜角为α的弦BC,其中α∈( , ],当△F2BC面积最小值为4时,求a的值. |
已知圆C的参数方程为(θ为参数),若P是圆C与y轴正半轴的交点,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的极坐标方程. |
求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y2=2x仅有一个交点. |
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