双曲线x2-y2=a2（a＞0）的左焦点F1，右焦点F2．过F1做倾斜角为α的弦BC，其中α∈(π4 ， π2]，当△F2BC面积最小值为42时，求a的值．

题型：不详难度：来源：

双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左焦点F₁，右焦点F₂．过F₁做倾斜角为α的弦BC，其中α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，当△F₂BC面积最小值为4

2

时，求a的值．

答案

.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．
设直线BC的方程为：x=my-

2

a，其中m=cotα．
代入双曲线的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则有； y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|=

2

a•

[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2

a•

[( 2 2 ma m2-1 )2-4• a2 m2-1 ]

=2a•

1+m2

1-m2

．
∵α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，∴0≤m＜1．
当m=0时，S△F2BC取得最小值2

2

a2．
由条件知，2

2

a2=4

2

∵a＞0，∴a=

2

．