已知F1(-1,0),F2(1,0),坐标平面上一点P满足:△PF1F2的周长为6,记点P的轨迹为C1.抛物线C2以F2为焦点,顶点为坐标原点O.(Ⅰ)求C1,
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已知F1(-1,0),F2(1,0),坐标平面上一点P满足:△PF1F2的周长为6,记点P的轨迹为C1.抛物线C2以F2为焦点,顶点为坐标原点O. (Ⅰ)求C1,C2的方程; (Ⅱ)若过F2的直线l与抛物线C2交于A,B两点,问在C1上且在直线l外是否存在一点M,使直线MA,MF2,MB的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由. |
答案
(Ⅰ)依题意可知,△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|,由于|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|=4, 由于|PF1|+|PF2|>|F1F2|,故点P的轨迹为C1为以F1,F2为焦点的椭圆的一部分,且a=2,c=1,故b=, 故C1的方程为:+=1 (x≠±2);C2的方程为:y2=4x.…(5分) (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),设直线AB的方程为:x=my+1,kMA+kMB=+=2kMF2=,…(6分) 故(y0-y1)(x0-my2-1)+(y0-y2)(x0-my1-1) | (x0-my1-1)(x0-my2-1) | =, 故-(y1+y2)(x0-1)2+my0(y1+y2)(x0-1)+2my1y2(x0-1)=2m2y0y1y2,…(8分) 由,y2-4my-4=0, 故y1+y2=4m,y1y2=-4,…(10分) 故m(x0+1)(x0-my0-1)=0,…(11分) 因为直线AB不经过点M,故x0-my0-1≠0,故m=0或x0+1=0,…(12分) 当m=0时,C1上除点(1,±)外,均符合题意;…(13分) 当m≠0时,则当x0=-1时,椭圆上存在两点M(-1,)和M(-1,-)都符合条件.…(14分) |
举一反三
已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且•=•. (Ⅰ)求动点P的轨迹曲线C的方程; (Ⅱ)设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M,且与直线x=-1相交于点N,试问:在x轴上是否存在一个定点E,使得以MN为直径的圆恒过此定点E?若存在,求出定点E的坐标;若不存在,说明理由. |
(极坐标与参数方程选做题) 曲线(θ为参数)与直线y=x+2的交点坐标为______. |
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t), (I)求t的值; (II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值;若不是,请说明理由. |
若一动点P到两定点A(0,)、B(0,-)的距离之和为4. ( I)求动点P的轨迹方程; ( II)设动点P的轨迹为曲线C,在曲线C任取一点Q,过点Q作x轴的垂线段QD,D为垂足,当Q在曲线C上运动时,求线段QD的中点M的轨迹方程. |
设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (1)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程; (2)求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程. |
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