设双曲线C:x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p,Q.(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且A1P•A2Q
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设双曲线C:x22-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p,Q.(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且A1P•A2Q
题型:不详
难度:
来源:
设双曲线
C:
x
2
2
-
y
2
=1
的左、右顶点分别为A
1
,A
2
垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p,Q.
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且
A
1
P
•
A
2
Q
=1
,求点T的坐标;
(2)求直线A
1
P与A
2
Q的交点M的轨迹E的方程.
答案
(1)由题意得
A
1
(-
2
,0),
A
2
(
2
,0)
,设P(x
0
,y
0
),Q(x
0
,-y
0
),
则
A
1
P
=(
x
0
+
2
,
y
0
),
A
2
Q
=(
x
0
-
2
,-
y
0
)
.
由
A
1
P
•
A
2Q
=1⇒
x
20
-
y
20
-2=1
,
即x
0
2
-y
0
2
=3,①…(3分)
又P(x
0
,y
0
)在双曲线上,则
x
20
2
-
y
20
=1
.②
联立①、②,解得:x
0
=±2,由题意,x
0
>0,
∴x
0
=2,
∴点T的坐标为(2,0)…(6分)
(2)设直线A
1
P与A
2
Q的交点M的坐标为(x,y),
由A
1
,P,M三点共线,得:
(
x
0
+
2
)y=
y
0
(x+
2
)
,①
由A
2
,Q,M三点共线,得:
(
x
0
-
2
)y=-
y
0
(x-
2
)
,②
联立①、②,解得:
x
0
=
2
x
,
y
0
=
2
y
x
.…(9分)
∵P(x
0
,y
0
)在双曲线上,
∴
(
2
x
)
2
2
-(
2
y
x
)
2
=1
∴轨迹E的方程为
x
2
2
+
y
2
=1(x≠0,y≠0)
.…(12分)
举一反三
已知F
1
(-1,0),F
2
(1,0)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的两个焦点,点G与F
2
关于直线l:x-2y+4=0对称,且GF
1
与l的交点P在椭圆上.
(I)求椭圆方程;
(II)若P、M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)是椭圆上的不同三点,直线PM、PN的倾斜角互补,问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
- y
2
=1
(a>0)的右焦点与抛物线y
2
=8x焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是______.
题型:黑龙江二模
难度:
|
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已知直线y=k(x-m)与抛物线y
2
=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,又OD⊥AB于D,若动点D的坐标满足方程x
2
+y
2
-4x=0,则m=______.
题型:浙江模拟
难度:
|
查看答案
已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰过点F,则该双曲线的离心率为______.
题型:太原一模
难度:
|
查看答案
椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为
10
5
,离心率为
2
5
5
,抛物线G:y
2
=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G交于C,D.
(1)求椭圆E及抛物线G的方程;
(2)是否存在学常数λ,使
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数,若存在,求λ的值,若不存在,说明理由.
题型:德州一模
难度:
|
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