(I)设过A(a,0)与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k, 则该切线的方程为:y=k(x-a) 由得x2-kx+(ka+1)=0∴△=k2-4(ka+1)=k2-4ak-4=0 则k1,k2都是方程k2-4ak-4=0的解,故k1k2=-4 (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2) 由于y"=2x,故切线AP的方程是:y-y1=2x1(x-x1) 则-y1=2x1(a-x1)=2x1a-2x12=2x1a-2(y1-1)∴y1=2x1a+2,同理y2=2x2a+2 则直线PQ的方程是y=2ax+2,则直线PQ过定点(0,2) (Ⅲ)要使最小,就是使得A到直线PQ的距离最小,而A到直线PQ的距离d==()=(+)≥ 当且仅当=即a2=时取等号设P(x1,y1),Q(x2,y2) 由得x2-2ax-1=0,则x1+x2=2a,x1x2=-1, •=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(x1-a)(x2-a)+(2ax1+2)(2ax1+2) =(1+4a2)x1x2+3a(x1+x2)+a2+4 =-(1+4a2)+3a•2a+a2+4 =3a2+3 = |