已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x,右焦点F(c,0)到渐近线的距离为3.(1)求双曲线C的方程;(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点,线段AB的

已知双曲线C的渐近线方程为y=±3x,右焦点F(c,0)到渐近线的距离为3.(1)求双曲线C的方程;(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点,线段AB的

题型:不详难度:来源:
已知双曲线C的渐近线方程为y=±


3
x
,右焦点F(c,0)到渐近线的距离为


3

(1)求双曲线C的方程;
(2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点,线段AB的中垂线交x轴于D,求证:
|AB|
|FD|
为定值.
答案
(1)设双曲线方程为3x2-y2=λ(λ>0)…(2分)
由题知c=2,∴
λ
3
+λ=4
,∴λ=3…(4分)
∴双曲线方程为:x2-
y2
3
=1
…(5分)
(2)设直线l的方程为y=k(x-2)代入x2-
y2
3
=1

整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0…(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点P(x0,y0
x0=-
2k2
3-k2
,代入l得:y0=
-6k
3-k2
…(7分)
|AB|=


1+k2
|x1-x2|=…=
6(k2+1)
|3-k2|
…(8分)
AB的垂直平分线方程为y=-
1
k
(x+
2k2
3-k2
)-
6k
3-k2
…(9分)
令y=0得xD=
-8k2
3-k2
…(10分)
|FD|=|
-8k2
3-k2
-2|=|
-6(1+k2)
3-k2
|=
6(1+k2)
|3-k2|
…(11分)
|AB|
|FD|
=1
为定值.…(12分)
举一反三
如果直线y=kx-2与双曲线x2-y2=4没有公共点,则k的取值范围是(  )
A.(-


2


2
)
B.[-


2


2
]
C.(-∞,-


2
)∪(


2
,+∞)
D.(-∞,-


2
]∪[


2
,+∞)
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
已知动圆过点M(2,0),且被y轴截得的线段长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点M的直线交曲线C于A,B两点,若在x轴上存在定点P(a,0),使PM平分∠APB,求P点的坐标.
题型:顺义区一模难度:| 查看答案
已知有相同两焦点F1、F2的椭圆
x2
5
+y2=1
和双曲线
x2
3
-y2=1
,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是(  )
A.锐角三角形B.B直角三角形
C.钝有三角形D.等腰三角形
题型:长宁区二模难度:| 查看答案
设曲线C1
x2
a2
+y2=1
(a为正常数)与C2:y2=2(x+m) 在x轴上方仅有一个公共点P.
(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0<a<
1
2
时,试求△OAP的面积的最大值(用a表示).
题型:不详难度:| 查看答案
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