在△PAB中,已知A(-6,0)、B(6,0),动点P满足|PA|=|PB|+4.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l
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在△PAB中,已知A(-6,0)、B(6,0),动点P满足|PA|=|PB|+4.(1)求动点P的轨迹方程;(2)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l
题型:不详
难度:
来源:
在△PAB中,已知A(-
6
,0)、B(
6
,0),动点P满足|PA|=|PB|+4.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l垂直于AB,且l与直线MP交于点Q,试在x轴上确定一点T,使得PN⊥QT.
答案
(1)∵|PA|-|PB|=4<|AB|,∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点.
设双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
.
由已知,得
c=
6
2a=4
,解得
c=
6
a=2
,∴b
2
=c
2
-a
2
=2.
∴动点P的轨迹方程为
x
2
4
-
y
2
2
=1(x>2)
.
(2)由题意,直线MP的斜率存在且不为0,设直线l的方程为x=2.
设MP的方程为y=k(x+2).
∵点Q是l与直线MP的交点,∴Q(2,4k).设P(x
0
,y
0
)
由
x
2
4
-
y
2
2
=1
y=k(x+2)
,整理得(1-2k
2
)x
2
-8k
2
x-(8k
2
+4)=0
则此方程必有两个不等实根x
1
=-2,x
2
=x
0
>2.
∴1-2k
2
≠0,且-2x
0
=
-
8
k
2
+4
1-2
k
2
.
∴
y
0
=k(
x
0
+2)=
4k
1-2
k
2
.∴
P(
4
k
2
+2
1-2
k
2
,
4k
1-2
k
2
)
.
设T(t,0),要使PN⊥QT,只需
PN
•
QT
=0
.
由N(2,0),
PN
=(-
8
k
2
1-2
k
2
,-
4k
1-2
k
2
)
,
QT
=(t-2,-4k)
.
∴
PN
•
QT
=-
1
1-2
k
2
[8
k
2
(t-2)-16
k
2
]=0
.
∵k≠0,∴t=4,此时
PN
≠
0
,
QT
≠
0
,∴所求T的坐标为(4,0).
举一反三
已知线段
CD=2
3
,CD的中点为O,动点A满足AC+AD=2a(a为正常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点A所在的曲线方程;
(2)若a=2,动点B满足BC+BD=4,且OA⊥OB,试求△AOB面积的最大值和最小值.
题型:宜春模拟
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,线段AB与y轴交于点F(0,
1
2
),直线AB的斜率为k,且满足|AF|•|BF|=1+k
2
.
(1)证明:对任意的实数k,一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C,并求出抛物线C的方程;
(2)对(1)中的抛物线C,若直线l:y=x+m(m>0)与其交于M、N两点,求∠MON的取值范围.
题型:和平区三模
难度:
|
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已知双曲线3x
2
-y
2
=3,过点P(2,1)作直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求弦AB中点M的轨迹.
(2)若P恰为AB中点,求l的方程.
题型:不详
难度:
|
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在以坐标轴为对称轴的椭圆上,O为坐标原点,A为右顶点,F为右焦点,过F作MN
∥
y轴,交椭圆于M,N两点,若|MN|=3,椭圆的离心率是方程2x
2
-5x+2=0的根.
(1)求椭圆的方程;
(2)若此椭圆的长轴不变,当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时,求椭圆短半轴长b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x
2
=2py(p≠0)的异于原点的交点
(1)若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆
x
2
4
+y
2
=1上,p=
1
2ab
,
求证:点Q落在双曲线4x
2
-4y
2
=1上
(3)若动点P(a,b)满足ab≠0,p=
1
2ab
,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.
题型:上海
难度:
|
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