在平面直角坐标系xOy中,线段AB与y轴交于点F(0,12),直线AB的斜率为k,且满足|AF|•|BF|=1+k2.(1)证明:对任意的实数k,一定存在以y轴
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在平面直角坐标系xOy中,线段AB与y轴交于点F(0,12),直线AB的斜率为k,且满足|AF|•|BF|=1+k2.(1)证明:对任意的实数k,一定存在以y轴
题型:和平区三模
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,线段AB与y轴交于点F(0,
1
2
),直线AB的斜率为k,且满足|AF|•|BF|=1+k
2
.
(1)证明:对任意的实数k,一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C,并求出抛物线C的方程;
(2)对(1)中的抛物线C,若直线l:y=x+m(m>0)与其交于M、N两点,求∠MON的取值范围.
答案
(1)由已知设l
AB
:y=kx+
1
2
①
又设抛物线C:x
2
=ay(a>0)②
由①②得x
2
-akx-
a
2
=0(2分)
设A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
),,则x
A
•x
B
=-
a
2
由弦长公式得
|AF|=
1+
k
2
|
x
A
-0|=
1+
k
2
|
x
A
|
|BF|=
1+
k
2
|
x
B
-0|=
1+
k
2
|
x
B
|
(4分)
∴|AF|•|BF|=(1+k
2
)×|
a
2
|
而|AF|•|BF|=1+k
2
,所以a=2,即抛物线方程为C:x
2
=2y(6分)
(2)设M(x
M
,y
M
),N(x
N
,y
N
),由
y=x+m
x
2
=2y
⇒x
2
-2x-2m=0
而△4+8m>0(m>0)
则x
M
+x
N
=2,x
M
•x
N
=-2m,
k
OM
=1+
m
x
M
,
k
ON
=1+
m
x
N
(7分)
不妨设x
M
<x
N
,由于m>0,则x
M
<0<x
N
令
∠mon=θ≠
π
2
,则ON到OM的角为θ,且满足
tanθ=
k
OM
-
k
ON
1+
k
OM
•
k
ON
=
2
1+2m
m-2
(m≠2)
(9分)
令
t=
1+2m
,则
m=
t
2
-1
2
,t>1且t≠
5
∴tanθ=
4t
t
2
-5
=
4
t+
-5
t
函数y=x与
y=
-5
x
在(0,+∞)上皆为增函数
∴t-
5
t
∈(-4,0)∪(0,+∞)
∴
4
t+
-5
t
∈(-∞,-1)∪(0,+∞)(11分)
则θ∈(0,
π
2
)∪(
π
2
,
3π
4
),又m=2时,∠MON=θ=
π
2
∴∠MON∈(0,
3π
4
)(13分)
举一反三
已知双曲线3x
2
-y
2
=3,过点P(2,1)作直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求弦AB中点M的轨迹.
(2)若P恰为AB中点,求l的方程.
题型:不详
难度:
|
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在以坐标轴为对称轴的椭圆上,O为坐标原点,A为右顶点,F为右焦点,过F作MN
∥
y轴,交椭圆于M,N两点,若|MN|=3,椭圆的离心率是方程2x
2
-5x+2=0的根.
(1)求椭圆的方程;
(2)若此椭圆的长轴不变,当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时,求椭圆短半轴长b的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x
2
=2py(p≠0)的异于原点的交点
(1)若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆
x
2
4
+y
2
=1上,p=
1
2ab
,
求证:点Q落在双曲线4x
2
-4y
2
=1上
(3)若动点P(a,b)满足ab≠0,p=
1
2ab
,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.
题型:上海
难度:
|
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过点P(-3,1)且方向向量为
a
=(2,-5)
的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y
2
=mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( )
A.y
2
=-2x
B.
y
2
=-
3
2
x
C.y
2
=4x
D.y
2
=-4x
题型:河南模拟
难度:
|
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已知抛物线方程为y
2
=4x,过Q(2,0)作直线l.
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
题型:江西模拟
难度:
|
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