在△ABC中,AC=23,点B是椭圆x25+y24=1的上顶点,l是双曲线x2-y2=-2位于x轴下方的准线,当AC在直线l上运动时.(1)求△ABC外接圆的圆

在△ABC中,AC=23,点B是椭圆x25+y24=1的上顶点,l是双曲线x2-y2=-2位于x轴下方的准线,当AC在直线l上运动时.(1)求△ABC外接圆的圆

题型:襄阳模拟难度:来源:
在△ABC中,AC=2


3
,点B是椭圆
x2
5
+
y2
4
=1
的上顶点,l是双曲线x2-y2=-2位于x轴下方的准线,当AC在直线l上运动时.
(1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程;
(2)过定点F(0,
3
2
)作互相垂直的直线l1、l2,分别交轨迹E于点M、N和点R、Q.求四边形MRNQ的面积的最小值.
答案
(1)由椭圆方程
x2
5
+
y2
4
=1及双曲线方程x2-y2=-2可得点B(0,2),直线l的方程是y=-1.
∵AC=2


3
,且AC在直线l上运动.
可设A(m-


3
,-1),C(m+


3
,-1)
,则AC的垂直平分线方程为x=m①
AB的垂直平分线方程为y-
1
2
=
m-


3
3
(x-
m-


3
2
)

∵P是△ABC的外接圆圆心,∴点P的坐标(x,y)满足方程①和②.
由①和②联立消去m得:y=
1
2
+
x-


3
3
(x-
x-


3
2
)
,即y=
1
6
x2

故圆心P的轨迹E的方程为x2=6y
(2)如图,直线l1和l2的斜率存在且不为零,设l1的方程为y=kx+
3
2

∵l1⊥l2,∴l2的方程为y=-
1
k
x+
3
2






y=kx+
3
2
y=
1
6
x2
得x2-6kx-9=0∵△=36k2+36>0,∴直线l1与轨迹E交于两点.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=6k,x1x2=-9
∴|MN|=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2
=


1+k2


36k2+36
=6(1+k2)

同理可得:|RQ|=6(1+
1
k2
)

∴四边形MRNQ的面积S=
1
2
|MN|•|QF|+
1
2
|MN|•|RF|=
1
2
|MN|(|QF|+|RF|)=
1
2
|MN|•|RQ|=36(1+k2)(1+
1
k2
1
2
=18(k2+
1
k2
+2)
18(2+2


k2
1
k2
)=72

当且仅当k2=
1
k2
,即k=±1时,等号成立.故四边形MRNQ的面积的最小值为72.
举一反三
动点P到定直线x=8的距离与它到定点F(2,0)的距离之比是2:1.则动点P的轨迹方程是(  )
A.
x2
16
-
y2
12
=1
B.
y2
12
-
x2
16
=1
C.
x2
16
+
y2
12
=1
D.
x2
12
-
y2
16
=1
题型:不详难度:| 查看答案
圆x2+y2=1与曲线xy-y=0的交点个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左准线为l,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线C2的准线也为l,焦点为F2,记C1与C2的一个交点为P,则
|F1F2|
|PF1|
-
|PF1|
|PF2|
=(  )
A.
1
2
B.1
C.2D.与a,b的取值无关
题型:襄阳模拟难度:| 查看答案
在△PAB中,已知A(-


6
,0)、B(


6
,0),动点P满足|PA|=|PB|+4.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设M(-2,0),N(2,0),过点N作直线l垂直于AB,且l与直线MP交于点Q,试在x轴上确定一点T,使得PN⊥QT.
题型:不详难度:| 查看答案
已知线段CD=2


3
,CD的中点为O,动点A满足AC+AD=2a(a为正常数).
(1)建立适当的直角坐标系,求动点A所在的曲线方程;
(2)若a=2,动点B满足BC+BD=4,且OA⊥OB,试求△AOB面积的最大值和最小值.
题型:宜春模拟难度:| 查看答案
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