动点P到两定点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线?

动点P到两定点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线?

题型:不详难度:来源:
动点P到两定点A(a,0),B(-a,0)连线的斜率的乘积为k,试求点P的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线?
答案
由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零
所以kPAkPB=
y
x-a
y
x+a
=k

整理得,点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2(x≠±a);
①当k>0,点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A,B两点)
②当k=0,点P的轨迹是x轴(除去A,B两点)
③当-1<k<0时,点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,B两点)
④当k=-1时,点P的轨迹是圆(除去A,B两点)
⑤当k<-1时,点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A,B两点)
举一反三
过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=______.
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抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧,F为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积.
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已知椭圆x2+by2=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点
(1)当a=
1
4
时,求实数b的取值范围;
(2)当|AB|=2


2
时,AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为
1
5
时,求椭圆的方程.
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直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同两个点,则实数k的取值范围是______.
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
与双曲线
x2
3
-
y2
2
=1
具有相同的焦点F1,F2,且顶点P(0,b)满足cos∠F1PF2=-
1
9

(1)求椭圆的方程;
(2)设过抛物线x2=12y焦点F的直线交椭圆于A、B两点,若


FA


FB
,求实数λ的范围.
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