抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M,双曲线的两焦点分别为F1、F2,若MF1•MF2=54,(I)证明:M点在F1、F2为焦点
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抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2-y2=1相交的一个交点为M,双曲线的两焦点分别为F1、F2,若MF1•MF2=54,(I)证明:M点在F1、F2为焦点
题型:不详
难度:
来源:
抛物线y
2
=2px(p>0)与双曲线x
2
-y
2
=1相交的一个交点为M,双曲线的两焦点分别为F
1
、F
2
,若
M
F
1
•M
F
2
=
5
4
,
(I)证明:M点在F
1
、F
2
为焦点的椭圆上;
(II)求抛物线方程.
答案
(I)设M(m,n)(m>0),因M点在双曲线x
2
-y
2
=1,
根据双曲线的焦半径公式得:
MF
1
=
2
m+1,MF
2
=
2
m-1,
∵
M
F
1
•M
F
2
=
5
4
∴(
2
m+1)(
2
m-1)=
5
4
,⇒m=
3
2
4
∴MF
1
+MF
2
=3=定值,即点M到F
1
、F
2
的距离之和为定值,且大于|F
1
F
2
|,
由椭圆的定义得:M点在F
1
、F
2
为焦点的椭圆上.
(II)由(I)得M的坐标为:(
3
2
4
,
±
2
4
)
代入抛物线方程y
2
=2px(p>0)得:2p=
2
12
∴抛物线方程是:
y
2
=
2
12
x
.
举一反三
点P是椭圆16x
2
+25y
2
=1600上一点,F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点,又知点P在x轴上方,F
2
为椭圆的右焦点,直线PF
2
的斜率为
-4
3
:求△PF
1
F
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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若直线x-y=1与椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1
交于A、B两点,则线段AB的中点坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的一条渐近线方程是
y=
3
x
,它的一个焦点在抛物线y
2
=24x的准线上,
(1)求双曲线的焦点坐标;
(2)求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线方程为y
2
=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点,O为坐标原点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
.
(1)求过点
P(
1
2
,
1
2
)
且被点P平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过点A(2,1)引直线与椭圆交于B、C两点,求截得的弦BC中点的轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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