已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),离心率为12.过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,且2711≤|FA|•|FB|≤3.(1
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1,0),离心率为12.过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,且2711≤|FA|•|FB|≤3.(1
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右焦点F(1,0),离心率为
1
2
.过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,且
27
11
≤|FA|•|FB|≤3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线l的斜率的取值范围.
答案
(1)由已知得:
c=1,
c
a
=
1
2
,
∴a=2,b
2
=a
2
-c
2
=3,
∴椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
(2)设直线l的方程为y=k(x-1),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
由
y=k(x-1)
x
2
4
+
y
2
3
=1
,
得(3+4k
2
)x
2
-8k
2
x+4k
2
-12=0,
∵直线l过焦点F,∴△>0,
且
x
1
+
x
2
=
8
k
2
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
4
k
2
-12
3+4
k
2
,
∴
|FA|=
(
x
1
-1)
2
+
y
21
=
1+
k
2
|
x
1
-1|
,
同理
|FB|=
1+
k
2
|
x
2
-1|
,
故|FA|•|FB|=(1+k
2
)|(x
1
-1)(x
2
-1)|=
(1+
k
2
)|
x
1
x
2
-(
x
1
+
x
2
)+1|=
9(1+
k
2
)
3+4
k
2
.
由
27
11
≤|FA|•|FB|≤3
,∴
27
11
≤
9(1+
k
2
)
3+4
k
2
≤3
,解得0≤k
2
≤2.
所以直线l的斜率k的取值范围是
[-
2
,
2
]
.
举一反三
已知椭圆
x
2
9
+
y
2
4
=1
内有一点P(2,1),过点P作直线交椭圆于A、B两点.
(1)若弦AB恰好被点P平分,求直线AB的方程;
(2)当原点O到直线AB的距离取最大值时,求△AOB的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知动点P与平面上两定点
A(-
2
,0),B(
2
,0)
连线的斜率的积为定值
-
1
2
.
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M.N两点,当
|MN|=
4
2
3
时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且
MN
=2
MP
,
PM
•
PF
=0;
(1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的方程;
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),D(x
3
,y
3
)是曲线C上除去原点外的不同三点,且
|AF|
,
|BF|
,
|DF|
成等差数列,当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时,求点B的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1
过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A,B两点
(1)求AB的中点坐标;
(2)求△ABF
2
的周长与面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设抛物线y
2
=4x截直线y=2x+m所得的弦AB长为
3
5
.
(1)求m的值;
(2)以弦AB为底边,以x轴上的点P为顶点组成的三角形的面积为39时,求点P的坐标.
题型:不详
难度:
|
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