已知动点A,B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且AP=tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹为曲线C.(1)求点P的轨迹方程;若t=
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已知动点A,B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且AP=tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹为曲线C.(1)求点P的轨迹方程;若t=
题型:不详
难度:
来源:
已知动点A,B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且
AP
=t
PB
(t是不为零的常数).设点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;若t=2,点M,N是C上关于原点对称的两个动点(M,N不在坐标轴上),点
Q(
3
2
,3)
,(2)求△QMN的面积S的最大值.
答案
(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),
由
AP
=t
PB
得
a=(1+t)x,b=
1+t
t
y
,
由|AB|=2得点P轨迹方程为
x
2
4
(1+t)
2
+
y
2
4
t
2
(1+t)
2
=1
,
当t=2时,C的方程为
9
x
2
4
+
9
y
2
16
=1
,
(2)设直线方程为y=kx与C方程联立得
9
16
(4+
k
2
)
x
2
-1=0,
易得△>0,
|MN|=
8
1+
k
2
3
4+
k
2
,
点Q到直线的距离为
d=
|
3
2
k-3|
1+
k
2
,
得
S=2
1-
4
4
k
+k
,当且仅当k=-2时,
S有最大值
2
2
.
举一反三
若直线y-kx-1=0(k∈R)与椭圆
x
2
5
+
y
2
m
=1
恒有公共点,则m的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线x+2y+m=0(m∈R)与抛物线C:y
2
=x相交与不同的两点A,B.
(1)求实数m的取值范围;
(2)在抛物线C上是否存在一点P,对(1)中任意m的值,都有直线PA与PB的倾斜角互补?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知A,B是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
和双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的公共顶点.P是双曲线上的动点,M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B),且满足
AP
+
BP
=λ(
AM
+
BM
)
,其中λ∈R,设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,k
1
+k
2
=5,则k
3
+k
4
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C的方程为y
2
=4x(x>0),曲线E是以F
1
(-1,0)、F
2
(1,0)为焦点的椭圆,点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点,且
|P
F
2
|=
5
3
.
(1)求曲线E的标准方程;
(2)直线l与椭圆E相交于A,B两点,若AB的中点M在曲线C上,求直线l的斜率k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,
AF
=2
FB
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=
15
4
,求椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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