已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)和双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异

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已知A，B是椭圆

=1(a＞b＞0)和双曲线

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足

=λ(

)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄=______．

答案

∵A，B是椭圆

=1(a＞b＞0)和双曲线

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵

=λ(

)，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴

．
由k₁+k₂=

x1+a

x1-a

=5，化为

2x1y1

x12-a2

=5，（*）
又∵

x12

y12

=1，∴

x12-a2

y12

，代入（*）化为

5a2

2b2

．
k₃+k₄=

x2+a

x2-a

2x2y2

x22-a2

，又

x22

y22

=1，
∴

x22-a2

y22

，
∴k₃+k₄=-

2b2

5a2

2b2

=-5．
故答案为-5．

举一反三

已知曲线C的方程为y²=4x（x＞0），曲线E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=

．
（1）求曲线E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．

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设椭圆C：

=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=

，求椭圆C的方程．

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已知a，b，c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值为______．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的右焦点F（1，0），离心率为

．过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且

≤|FA|•|FB|≤3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的斜率的取值范围．

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已知椭圆

=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．
（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

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