已知离心率为45的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为234.(I)求椭圆及双曲线的方程;(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别
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已知离心率为45的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为234.(I)求椭圆及双曲线的方程;(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别
题型:日照一模
难度:
来源:
已知离心率为
4
5
的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2
34
.
(I)求椭圆及双曲线的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若
BM
=
MP
.求四边形ANBM的面积.
答案
(I)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0).
则根据题意,双曲线的方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
,且满足
a
2
-
b
2
a
=
4
5
a
2
2
+
b
2
=2
34
,解方程组得
a
2
=25
b
2
=9
∴椭圆的方程为
x
2
25
+
y
2
9
=1
,双曲线的方程
x
2
25
-
y
2
9
=1
;
(Ⅱ)由(I)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10.
设M(x
0
,y
0
),则由
BM
=
MP
得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x
0
-5,2y
0
),
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程,得
x
0
2
25
+
y
0
2
9
=1
(2
x
0
-5
)
2
25
-
4
y
0
2
9
=1
,
消去y
0
,得
2
x
0
2
-5
x
0
-25=0
解之得
x
0
=-
5
2
或x
0
=5(舍)
所以
y
0
=
3
3
2
,由此可得
M(-
5
2
,
3
3
2
)
,
所以
P(-10,3
3
)
.
当P为
(-10,3
3
)
时,直线PA的方程是
y=
3
3
-10+5
(x+5)
即
y=-
3
3
5
(x+5)
.
代入
x
2
25
+
y
2
9
=1
,得2x
2
+15x+25=0
所以
x=-
5
2
或-5(舍),
所以
x
N
=-
5
2
,x
N
=x
M
,MN⊥x轴.
所以
S
ANBM
=2
S
△ANB
=2×10×
3
3
2
×
1
2
=15
3
.
举一反三
如图,已知抛物线P:y
2
=x,直线AB与抛物线P交于A,B两点,OA⊥OB,
OA
+
OB
=
OC
,OC与AB交于点M.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求四边形AOBC的面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为y=x
2
,过(0,1)点的直线l与C相交于点A,B,证明:OA⊥OB(O为坐标原点)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=8x,直线y=2x+b与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=
15
,求b的值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=ax
2
与直线y=kx+1交于两点,其中一点坐标为(1,4),则另一个点的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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已知△OFQ的面积为2
6
,且
OF
•
FQ
=m,
(1)设
6
<m<4
6
,求向量
OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围;
(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),|
OF
|=c,m=(
6
4
-1)c
2
,当|
OQ
|取最小值时,求此双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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