已知曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,而数列{an}的首项为a1=2k,且当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,数列{b
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已知曲线C:xy-2kx+k2=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,而数列{an}的首项为a1=2k,且当n≥2时点(an-1,an)恒在曲线C上,数列{b
题型:不详
难度:
来源:
已知曲线C:xy-2kx+k
2
=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,而数列{a
n
}的首项为a
1
=2k,且当n≥2时点(a
n-1
,a
n
)恒在曲线C上,数列{b
n
}满足关系
b
n
=
1
a
n
-2
①求k的值;
②求证数列{b
n
}是等差数列;
③求数列{a
n
}的通项公式.
答案
①联立
x-y+8=0
xy-2kx+
k
2
=0
,得x
2
+(8-2k)x+k
2
=0
因为曲线C:xy-2kx+k
2
=0与直线l:x-y+8=0有唯一公共点,
所以方程x
2
+(8-2k)x+k
2
=0只有唯一解,
所以△=(8-2k)
2
-4k
2
=64-32k=0,所以k=2;
②因为k=2,所以曲线C变成xy-4x+4=0
当n≥2时点(a
n-1
,a
n
)恒在曲线C上,则
a
n-1
a
n
-4a
n-1
+4=0,
由
b
n
=
1
a
n
-2
,所以
a
n
=2+
1
b
n
.
则
b
1
=
1
a
1
-2
=
1
2
.
所以
(2+
1
b
n-1
)(2+
1
b
n
)-4(2+
1
b
n-1
)+4=0
.
2
b
n-1
+
2
b
n
+
1
b
n
1
b
n-1
-
4
b
n-1
=0
-
2
b
n-1
+
2
b
n
+
1
b
n
1
b
n-1
=0
.
整理得
b
n
-
b
n-1
=
1
2
(n≥2).
所以数列{b
n
}是首项为
1
2
,公差为
1
2
的等差数列.
③由数列{b
n
}是首项为
1
2
,公差为
1
2
的等差数列,
所以
b
n
=
1
2
+
1
2
(n-1)=
n
2
.
a
n
=2+
1
b
n
=2+
1
n
2
=2+
2
n
.
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点(0,2)直线l与C交于A,B,若∠AOB为锐角,求直线l的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的顶点为(1,0),焦点在x轴上,若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点,线段AB的中点坐标为(5,7),求抛物线C的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1
所截得的弦的中点为M(4,2),则l被椭圆截得的弦长为______.
题型:不详
难度:
|
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将圆x
2
+y
2
=4压扁得到椭圆C,方法是将该圆上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
3
2
倍.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左焦点为F
1
,右焦点F
2
,直线l过点F
1
且垂直于椭圆的长轴,点P为直线l上的动点,过点P且垂直于l的动直线l
1
与线段PF
2
垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C′的方程;
(3)是否存在过点(0,-2)的直线l
2
与椭圆C相交于A、B两点,使以AB为直径的圆过点O(O是坐标原点),若存在,求直线l
2
的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点A(-2,0),B(2,0)
(1)过点A斜率
3
3
的直线l,交以A,B为焦点的双曲线于M,N两点,若线段MN的中点到y轴的距离为1,求该双曲线的方程;
(2)以A,B为顶点的椭圆经过点C(1,
3
2
),过椭圆的上顶点G作直线s,t,使s⊥t,直线s,t分别交椭圆于点P,Q(P,Q与上顶点G不重合).求证:PQ必过y轴上一定点.
题型:不详
难度:
|
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