已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,短轴的一个端点到右焦点的距离为3(1)求椭圆C的方程;(2)设过点(0,2)直线l与C交于A,B
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,短轴的一个端点到右焦点的距离为3(1)求椭圆C的方程;(2)设过点(0,2)直线l与C交于A,B
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
6
3
,短轴的一个端点到右焦点的距离为
3
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点(0,2)直线l与C交于A,B,若∠AOB为锐角,求直线l的斜率的取值范围.
答案
(1)由
e
2
=
2
3
得a
2
=3b
2
,又由题意知
a=
3
,所以b=1,所以
x
2
3
+
y
2
=1
…(4分)
(2)设直线方程为y=kx+2,所以
y=kx+2
x
2
+3
y
2
=3
⇒(3k
2
+1)
x
2
+12kx+9=0
,…(2分)
由题意知△=144k
2
-36(3k
2
+1)>0,解得k
2
>1…(1分)
又
x
1
+
x
2
=
-12k
3
k
2
+1
x
1
x
2
=
9
3
k
2
+1
,由∠AOB为锐角可得,
OA
•
OB
>0
即x
1
x
2
+y
1
y
2
>0…(2分)
所以(k
2
+1)x
1
x
2
+2k(x
1
+x
2
)+4>0,代解得
k
2
<
13
3
…(2分)
综上可得
1<
k
2
<
13
3
…(1分)
举一反三
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题型:不详
难度:
|
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已知直线l被椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1
所截得的弦的中点为M(4,2),则l被椭圆截得的弦长为______.
题型:不详
难度:
|
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将圆x
2
+y
2
=4压扁得到椭圆C,方法是将该圆上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
3
2
倍.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左焦点为F
1
,右焦点F
2
,直线l过点F
1
且垂直于椭圆的长轴,点P为直线l上的动点,过点P且垂直于l的动直线l
1
与线段PF
2
垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C′的方程;
(3)是否存在过点(0,-2)的直线l
2
与椭圆C相交于A、B两点,使以AB为直径的圆过点O(O是坐标原点),若存在,求直线l
2
的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点A(-2,0),B(2,0)
(1)过点A斜率
3
3
的直线l,交以A,B为焦点的双曲线于M,N两点,若线段MN的中点到y轴的距离为1,求该双曲线的方程;
(2)以A,B为顶点的椭圆经过点C(1,
3
2
),过椭圆的上顶点G作直线s,t,使s⊥t,直线s,t分别交椭圆于点P,Q(P,Q与上顶点G不重合).求证:PQ必过y轴上一定点.
题型:不详
难度:
|
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已知点
F(
1
2
,0)
,动圆P经过点F,与直线x=-
1
2
相切,设动圆的圆心P的轨迹为曲线W,且直线x-y=m与曲线W相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,O为坐标原点.
(1)求曲线W的方程;
(2)当m=2时,证明:OA⊥OB;
(3)当y
1
y
2
=-2m时,是否存在m∈R,使得
OA
•
OB
=-1?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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