已知抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，若直线y=x+2交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点坐标为（5，7），求抛物线C的方程．

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答案

因为抛物线交直线y=x+2所得线段的中点为（5，7），
所以抛物线为开口向右的抛物线，
又抛物线C的顶点为（1，0），焦点在x轴上，
所以设抛物线C的方程为y²=2p（x-1），焦点为（

+1，0）
直线y=x+2与抛物线C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
由

y=x+2

y2=2p(x-1)

，得y²-2py+6p=0．
所以y₁+y₂=2p．
因为线段AB的中点坐标为（5，7），
所以y₁+y₂=2p=14，所以p=7．
所以抛物线C的方程为y²=14（x-1）．

举一反三

已知直线l被椭圆

=1所截得的弦的中点为M（4，2），则l被椭圆截得的弦长为______．

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将圆x²+y²=4压扁得到椭圆C，方法是将该圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F₁，右焦点F₂，直线l过点F₁且垂直于椭圆的长轴，点P为直线l上的动点，过点P且垂直于l的动直线l₁与线段PF₂垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C′的方程；
（3）是否存在过点（0，-2）的直线l₂与椭圆C相交于A、B两点，使以AB为直径的圆过点O（O是坐标原点），若存在，求直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

魔方格

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已知点A（-2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率

的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，

），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．

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已知点F(

，0)，动圆P经过点F，与直线x=-

相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求曲线W的方程；
（2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（3）当y₁y₂=-2m时，是否存在m∈R，使得

•

=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
满足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：

≥2．
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x=2tcosθ

y=2sinθ

（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-

)=2

．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且

•

=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

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