已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点.(1)求弦AB中点的轨迹方程;(2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
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已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点. (1)求弦AB中点的轨迹方程; (2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值. |
答案
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x,y),则 ∵过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点, ∴x12+3y12=6,x22+3y22=6, 两式相减可得2x(x1-x2)+6y(y1-y2)=0, ∴=-, ∵弦AB的斜率为, ∴=-, 化简可得弦AB中点轨迹方程为x2+3y2-x=0. (2)设直线AB方程为x=my+1,代入x2+3y2=6中,化简得(m2+3)y2+2my-5=0,于是y1+y2=,y1y2=. 又S△ABF=S△AMF+S△BMF=|AF||y1-y2|,F(-2,0) ∴S2=(y1-y2)2==-27[-]. 令t=,则0<t≤.S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27. ∴t=时,S有最大值,最大值为. |
举一反三
在同一直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为( )A.25x2+9y2=1 | B.9x2+25y2=1 | C.25x+9y=1 | D.+=1 |
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设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为______. |
(Ⅰ)求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0截得的弦长为2的圆的方程. (Ⅱ)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. |
与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是( )A.y2=4(x+1)(0<x≤1) | B.y2=4(x-1)(0<x≤1) | C.y2=-4(x-1)(0<x≤1) | D.y2=-2(x-1)(0<x≤1) |
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若△ABC的个顶点坐标A(-4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为( )A.+=1 | B.+=1(y≠0) | C.+=1(y≠0) | D.+=1(y≠0) |
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