(1)将(2,2)代入x2=2py,得4=4p,所以p=1,故抛物线方程为x2=2y. 即y=x2. y对x求导得y′=x,所以抛物线x2=2y上点(2,2)处的切线的斜率为y′|x=2=2. 所以抛物线在点(2,2)处的切线方程为y-2=2(x-2),即y=2x-2. 它与两坐标轴的交点分别为(1,0),(0,-2). 由题意可知,a=2,b=1. 所以椭圆E的方程分别为+x2=1; (2)假设直线BC恒过定点D. 设直线AB的斜率kAB=k1,直线AC的斜率kAC=k2,则k1k2=-4. 从而直线AB的方程为y=k1x+2. 联立,整理得(k12+4)x•(x+)=0. 从而点B的横坐标xB=-,yB=k1•(-)+2=. 所以点B的坐标为(-,). 同理点C的坐标为(-,). 于是,xB=-=,yB==. xC=-=,yC==. 所以点B,C均在直线y=x上. 而两点确定一条直线,所以直线BC的方程为y=x,即y=x. 所以BC恒过定点D(0,0); (3)设H(x,y),由(2)知,∠AHO=90°, 所以•=0. 又因为=(x,y-2),=(x,y), 所以有x2+y(y-2)=0,即x2+(y-1)2=1. 所以H的轨迹方程为x2+(y-1)2=1(去掉点(0,2)). |