已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-12.(1)求点M轨迹C的方程;(2)若过点D(0,2)的直线l
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已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-12.(1)求点M轨迹C的方程;(2)若过点D(0,2)的直线l
题型:不详
难度:
来源:
已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
1
2
.
(1)求点M轨迹C的方程;
(2)若过点D(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F,试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).
答案
(1)设点M的坐标为(x,y),
∵
k
AM
•
k
BM
=-
1
2
,∴
y+1
x
•
y-1
x
=-
1
2
.
整理得,
x
2
2
+
y
2
=1(x≠0)
;
(2)由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+2.
联立
y=kx+2
x
2
2
+
y
2
=1
,得(2k
2
+1)x
2
+8kx+6=0.
由△=64k
2
-4×6(2k
2
+1)>0,解得
k
2
>
3
2
.
设E(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+
x
2
=
-8
k
2
2
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
6
2
k
2
+1
.
S
△OEF
=S
△OED
-S
△OFD
=
1
2
OD|
x
1
|-
1
2
OD|
x
2
|=
1
2
OD|
x
1
-
x
2
|=
1
2
×2|
x
1
-
x
2
|=|
x
1
-
x
2
|
=
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
(
-8
k
2
2
k
2
+1
)
2
-4•
6
2
k
2
+1
=
16
k
2
-24
(2
k
2
+1
)
2
=
16(
k
2
-
3
2
)
(2
k
2
+1
)
2
.
令
k
2
-
3
2
=t(t>0)
,所以
k
2
=t+
3
2
(t>0)
.
则
S
△OEF
=
16t
(2t+4
)
2
=
4t
(
t+2)
2
=2
t
t
2
+4t+4
=
2
1
t+
4
t
+4
≤2
1
4+4
=
2
2
.
所以
S
△OEF
∈(0,
2
2
]
.
举一反三
M是圆(x+3)
2
+y
2
=4上一动点,N(3,0),则线段MN中点的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,设⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为⊙C上一动点,点M的极坐标为
(4,
π
2
)
,点Q为线段PM的中点.
(1)求点Q的轨迹C
1
的方程;
(2)试判定轨迹C
1
和⊙C的位置关系,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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点(2,3)关于直线:x+y-6=0对称的点为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点F
1
(-1,0),F
2
(1,0),动点G满足
|G
F
1
|+|G
F
2
|=2
2
.
(Ⅰ)求动点G的轨迹Ω的方程;
(Ⅱ)已知过点F
2
且与x轴不垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹Ω于P、Q两点.在线段OF
2
上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,动点P和点M(-2,0)、N(2,0)满足
|
MN
|•|
MP
|+
MN
•
NP
=0
,则动点P(x,y)的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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