设向量a=（0，2），b=（1，0），过定点A（0，-2），以a+λb方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量b-2λa为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R

题型：不详难度：来源：

设向量

=（0，2），

=（1，0），过定点A（0，-2），以

+λ

方向向量的直线与经过点B（0，2），以向量

-2λ

为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过E（1，0）的直线l与C交于两个不同点M、N，求

•

的取值范围．

答案

（Ⅰ）设P（x，y），∵

=（0，2），

=（1，0），∴

+λ

=（λ，2），

-2λ

=（1，-4λ），
过定点A（0，-2），以

+λ

方向向量的直线方程为：2x-λy-2λ=0，
过定点B（0，2），以

-2λ

方向向量的直线方程为：4λx+y-2=0，
联立消去λ得：8x²+y²=4∴求点P的轨迹C的方程为8x²+y²=4．
（Ⅱ）当过E（1，0）的直线l与x轴垂直时，l与曲线C无交点，不合题意，
∴设直线l的方程为：y=k（x-1），l与曲线C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=k(x-1)

8x2+y2=4

⇒（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，则

△=4k4-4(k2+8)(k2-4)＞0⇒0≤k2＜8

x1+x2=

2k2

k2+8

，x1x2=

k2-4

k2+8

，
又

=（x₁-1，y₁），

=（x₂-1，y₂），
∴

•

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k²=（1+k²）（

k2-4

k2+8

2k2

k2+8

+1）=

4(k2+1)

k2+8

=4-

k2+8

，
∵0≤k²＜8，∴

•

的取值范围是[

，

）．

举一反三

已知M（4，0），N（1，0），若动点P满足

•

=6|

|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若-

≤

•

≤-

，求直线l的斜率的取值范围．

题型：密山市模拟难度：| 查看答案

已知Z=cos

+isin

，i为虚数单位，那么平面内到点C（1，2）的距离等于|Z|的点的轨迹是（　　）

A．圆

B．以点C为圆心，半径等于1的圆

C．满足方程x²+y²=1的曲线

D．满足(x-1)2+(y-2)2=

的曲线

题型：不详难度：| 查看答案

已知O为坐标原点，

=(-4，0)，

=(8，0)，动点P满足|

|+|

|=10
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）求

•

的最小值；
（3）若Q（1，0），试问动点P的轨迹上是否存在M、N两点，满足

？若存在求出M、N的坐标，若不存在说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

（文科）点M是圆x²+y²=4上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD的中点．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，若直线l：y=-ex+m（其中e为曲线C的离心率）与曲线C有两个不同的交点A与B且

•

=2（其中O为坐标原点），求m的值．

题型：不详难度：| 查看答案

①在直角坐标系中，

x=a+rcosθ

y=b+rsinθ

表示什么曲线？（其中a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量．）
②若点P为圆C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一点，且O为原点，A（1，0），求

•

的取值范围．

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