已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都等于1,(1)求曲线C的方程;(2)若过点M(-1,0)的直线与曲线C有两个交点

已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都等于1,(1)求曲线C的方程;(2)若过点M(-1,0)的直线与曲线C有两个交点

题型:不详难度:来源:
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都等于1,
(1)求曲线C的方程;
(2)若过点M(-1,0)的直线与曲线C有两个交点A,B,且FA⊥FB,求直线l的斜率.
答案
(1)设p(x,y)是曲线C上任意一点,
因为C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都等于1,
所以点p(x,y)满足


(x-1)2+y2
-x=1(x>0)

化简得:y2=4x(x>0);
(2)设直线与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
设直线l的方程为x=ty-1





x=ty-1
y2=4x
,得y2-4ty+4=0,





y1+y2=4t
y1y2=4

由FA⊥FB,得


FA


FB
=0



FA
=(x1-1,y1)


FB
=(x2-1,y2)

所以


FA


FB
=0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=0

即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0②
x=
y2
4
,于是(2)等价于
y12
4
y22
4
+y1y2-(
y12
4
+
y22
4
)+1=0

(y1y2)2
16
+y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1=0

把①式代入③,整理得4t2=8,t=±


2

满足△=16(t2-1)>0.
∴直线l的斜率为±


2
2
举一反三
(理科)圆C:x2+y2-24x-28y-36=0内有一点Q(4,2),过点Q作直角AQB交圆于A,B,求动弦AB中点的轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
设向量


a
=(0,2),


b
=(1,0),过定点A(0,-2),以


a


b
方向向量的直线与经过点B(0,2),以向量


b
-2λ


a
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,
(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过E(1,0)的直线l与C交于两个不同点M、N,求


EM


EN
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知M(4,0),N(1,0),若动点P满足


MN


MP
=6|


PN
|

(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设过点N的直线l交轨迹C于A,B两点,若-
18
7


NA


NB
≤-
12
5
,求直线l的斜率的取值范围.
题型:密山市模拟难度:| 查看答案
已知Z=cos
π
4
+isin
π
4
,i为虚数单位,那么平面内到点C(1,2)的距离等于|Z|的点的轨迹是(  )
A.圆
B.以点C为圆心,半径等于1的圆
C.满足方程x2+y2=1的曲线
D.满足(x-1)2+(y-2)2=
1
2
的曲线
题型:不详难度:| 查看答案
已知O为坐标原点,


OA
=(-4,0),


AB
=(8,0)
,动点P满足|


PA
|+|


PB
|=10

(1)求动点P的轨迹方程;
(2)求


PA


PB
的最小值;
(3)若Q(1,0),试问动点P的轨迹上是否存在M、N两点,满足


NQ
=
4
3


QM
?若存在求出M、N的坐标,若不存在说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
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