已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，（1）求曲线C的方程；（2）若过点M（-1，0）的直线与曲线C有两个交点

题型：不详难度：来源：

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点M（-1，0）的直线与曲线C有两个交点A，B，且FA⊥FB，求直线l的斜率．

答案

（1）设p（x，y）是曲线C上任意一点，
因为C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
所以点p（x，y）满足

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)．
化简得：y²=4x（x＞0）；
（2）设直线与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设直线l的方程为x=ty-1
由

x=ty-1 y2=4x

，得y²-4ty+4=0，
得

y1+y2=4t y1y2=4

①
由FA⊥FB，得

FA

•

FB

=0
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)
所以

FA

•

FB

=0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又x=

y2

4

，于是（2）等价于

y12

4

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1=0．

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1=0③
把①式代入③，整理得4t²=8，t=±

2

．
满足△=16（t²-1）＞0．
∴直线l的斜率为±

2

2

．