设△ABC的两个顶点A(-a,0),B(a,0)(a>0),顶点C是一个动点且满足直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m,试求顶点C的轨迹方程,并指出轨迹类型.

设△ABC的两个顶点A(-a,0),B(a,0)(a>0),顶点C是一个动点且满足直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m,试求顶点C的轨迹方程,并指出轨迹类型.

题型:不详难度:来源:
设△ABC的两个顶点A(-a,0),B(a,0)(a>0),顶点C是一个动点且满足直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m,试求顶点C的轨迹方程,并指出轨迹类型.
答案
设C的坐标为(x,y),则
∵△ABC的两个顶点A(-a,0),B(a,0)(a>0),直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m
y
x+a
×
y
x-a
=m

x2
a2
+
y2
-ma2
=1
,(y≠0)
当m=-1时,轨迹是一个圆(除去与x轴的交点);
当0>m>-1是焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点);
当m<-1是焦点在y轴上的椭圆(除去与x轴的交点).
举一反三
横纵坐标之和为零的动点的轨迹是(  )
A.一条射线B.一条直线C.两条直线D.双曲线
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一动圆P与圆A:(x+1)2+y2=1外切,而与圆B:(x-1)2+y2=64内切,那么动圆的圆心P的轨迹是(  )
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A.椭圆B.双曲线
C.抛物线D.双曲线的一支
抛物线y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是(  )
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A.y2=x-1B.y2=2(x-1)C.y2=x-D.y2=2x-1
已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|,
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
△ABC中,A(-2,0),B(2,0),则满足△ABC的周长为8的点C的轨迹方程为______.