已知抛物线y2=8x,过M(2,3)作直线l交抛物线于A、B.(1)求以M(2,3)为中点的弦AB所在直线l的方程.(2)设AB的中点为N,求N的轨迹方程.
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已知抛物线y2=8x,过M(2,3)作直线l交抛物线于A、B. (1)求以M(2,3)为中点的弦AB所在直线l的方程. (2)设AB的中点为N,求N的轨迹方程. |
答案
(1)由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A、B在y2=8x上, ∴=8x1,=8x2,又=3, ∴由 (y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),可得 k===, 故AB所在直线l的方程为:y-3= (x-2),即 4x-3y+1=0. (2)设AB的中点N(x0,y0 ),A(x1,y1) B (x2,y2),∴x0=,y0=. 当l斜率存在时,设斜率为k,直线方程为:y-3=k(x-2),∵A、B在y2=8x上, ∴y12=8x1,y22=8x2,∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),∴k===. 由N(x0,y0)在直线l上,∴y0-3=(x0-2),即-4x0-3y0+8=0, 又当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,中点为(2,0)满足上述方程, 所以,所求中点N的轨迹方程为:y2-4x-3y+8=0. |
举一反三
若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程为______. |
已知点(x,y)在椭圆C:+=1(a>b>0)的第一象限上运动. (Ⅰ)求点(,xy)的轨迹C1的方程; (Ⅱ)若把轨迹C1的方程表达式记为y=f(x),且在(0,)内y=f(x)有最大值,试求椭圆C的离心率的取值范围. |
设A(-2,0),B(2,0),M为平面上任一点,若|MA|+|MB|为定值,且cosAMB的最小值为-. (1)求M点轨迹C的方程; (2)过点N(3,0)的直线l与轨迹C及单位圆x2+y2=1自右向左依次交于点P、Q、R、S,若|PQ|=|RS|,则这样的直线l共有几条?请证明你的结论. |
已知动点M到A(4,0)的距离等于它到直线x=1的距离的2倍,则动点M的轨迹方程为______. |
动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4. 求点P的轨迹C的方程. |
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