已知点(x,y)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的第一象限上运动.(Ⅰ)求点(yx,xy)的轨迹C1的方程;(Ⅱ)若把轨迹C1的方程表达式记为y=
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已知点(x,y)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的第一象限上运动.(Ⅰ)求点(yx,xy)的轨迹C1的方程;(Ⅱ)若把轨迹C1的方程表达式记为y=
题型:不详
难度:
来源:
已知点(x,y)在椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的第一象限上运动.
(Ⅰ)求点
(
y
x
,xy)
的轨迹C
1
的方程;
(Ⅱ)若把轨迹C
1
的方程表达式记为y=f(x),且在
(0,
3
3
)
内y=f(x)有最大值,试求椭圆C的离心率的取值范围.
答案
(Ⅰ)设点(x
0
,y
0
)是轨迹C
1
上的动点,∴
x
0
=
y
x
y
0
=xy.
(2分)
∴x
0
y
0
=y
2
,
y
0
x
0
=
x
2
.
∵点(x,y)在椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的第一象限上运动,则x
0
>0,y
0
>0.
∴
y
0
a
2
x
0
+
x
0
y
0
b
2
=1
.
故所求的轨迹C
1
方程是
y
a
2
x
+
xy
b
2
=1
(x>0,y>0).(6分)
(Ⅱ)由轨迹C
1
方程是
y
a
2
x
+
xy
b
2
=1
(x>0,y>0),得
y=
a
2
b
2
x
b
2
+
a
2
x
2
(x>0).
∴
f(x)=
a
2
b
2
x
b
2
+
a
2
x
2
=
a
2
b
2
b
2
x
+
a
2
x
≤
a
2
b
2
2
b
2
x
•
a
2
x
=
ab
2
.
所以,当且仅当
b
2
x
=
a
2
x
,即
x=
b
a
时,f(x)有最大值.(10分)
如果在开区间
(0,
3
3
)
内y=f(x)有最大值,只有
b
a
<
3
3
.(12分)
此时,
b
2
a
2
<
1
3
⇒
a
2
-
c
2
a
2
<
1
3
,解得
6
3
<e<1
.
∴椭圆C的离心率的取值范围是
(
6
3
, 1)
.(14分)
举一反三
设A(-2,0),B(2,0),M为平面上任一点,若|MA|+|MB|为定值,且cosAMB的最小值为-
1
3
.
(1)求M点轨迹C的方程;
(2)过点N(3,0)的直线l与轨迹C及单位圆x
2
+y
2
=1自右向左依次交于点P、Q、R、S,若|PQ|=|RS|,则这样的直线l共有几条?请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知动点M到A(4,0)的距离等于它到直线x=1的距离的2倍,则动点M的轨迹方程为______.
题型:不详
难度:
|
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动点P在x轴与直线l:y=3之间的区域(含边界)上运动,且到点F(0,1)和直线l的距离之和为4.
求点P的轨迹C的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知动点P到直线y=1的距离比它到点F(0,
1
4
)的距离大
3
4
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若点P的轨迹上不存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知动圆M与直线x=-2相切,且与定圆C:(x-3)
2
+y
2
=1外切.
(Ⅰ)求动圆圆心Mx轨迹方程;
(Ⅱ)若正△OABx三个顶点都在点Mx轨迹上(O为坐标原点),求该正三角形x边长.
题型:不详
难度:
|
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