(1)设M(x,y), ∵在△AMB中,AB=4,|MA|+|MB|是定值; 可设|MA|+|MB|=2a(a>0). ∴cosAMB═(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16 | 2|MA||MB| |
=-1.(3分) 而|MA|+|MB|≥2, ∴|MA|•|MB|≤a2. ∴-1≥-1 .∵cosAMB最小值为-, ∴-1=-.∴a=.(6分) ∴|MA|+|MB|=2>|AB|. ∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,且a=,c=2. ∴b2=a2-c2=2.∴曲线C的方程是+=1.(8分) (2)设直线l的方程是y=k(x-3). 1°当k=0时,显然有|PQ|=|RS|;此时l的方程是y=0. 2°当k≠0时,∵|PQ|=|RS|,∴PS与RQ的中点重合,设中点为G,则OG⊥PS. 由, 得(1+3k2)x2-18k2x+27k2-6=0.(11分) 设P(x1,y1),S(x2,y2), 则x1+x2=,y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3)=. ∴G(,). ∴×k=-1无解,此时l不存在, 综上,存在一条直线l:y=0满足条件.(16分) |