已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求a的值并求它在[-2,2]上的最

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求a的值并求它在[-2,2]上的最

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已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求a的值并求它在[-2,2]上的最小值.
答案
(I)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
举一反三
已知函数f(x)=lnx-
a
x

(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求a的值.
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已知函数f(x)=e2x-1-2x.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)设b∈R,求函数f(x)在区间[b,b+1]上的最小值.
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对于R上的可导的任意函数f(x),若满足(x2-3x+2)f"(x)≤0,则函数f(x)在区间[1,2]上必有(  )
A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)
C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)
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已知函数f(x)=
1
3
x3+x2-ax(a∈R)

(1)若a=8,求f(x)在区间[-6,3]上的最大值;
(2)若g(x)=
3f(x)•ex
x
在(-∞,0)上恰有两个极值点,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)
在x=1处取到极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=lnx+
a
x
.若对任意的x1∈R,总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+
7
2
,求实数a的取值范围.
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