(Ⅰ)由题意知:e==,a-c=1,a2=b2+c2,解得a=2,b2=3. 故椭圆的方程为+=1. (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2), (1)若l⊥x轴,可设H(x0,0),因OA⊥OB,则A(x0,±x0).由+=1,得=,即H(±,0). 若l⊥y轴,可设H(0,y0),同理可得H(0,±). (2)当直线l的斜率存在且不为0时,设l:y=kx+m, 由,消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 则x1+x2=-,x1x2=.y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0.故 +=0,即7m2=12(k2+1)(记为①). 由OH⊥AB,可知直线OH的方程为y=-x.联立方程组,得 (记为②).将②代入①,化简得x2+y2=.综合(1)、(2),可知点H的轨迹方程为x2+y2=. |